1. Теория вероятностей

1.1. Случайное событие

Опыт или случайное событие – действие или ряд действий, который может быть повторен многократно, и который заканчивается не некоторым исходом.

Опыт:

- исход

- пространство элементарных исходов. Все исходы равно возможны.

Случайным событием называется подмножество множества .

Случайным событием называется событие, которое в результате данного опыта может произойти, а может и не произойти.

- называются совместными, если в результате опыта элементарный исход принадлежит и .

- несовместны.

- невозможное событие, если оно не имеет элементарных исходов

- достоверное, если оно в результате опыта обязательно произойдет.

Вероятность случайного события некоторая числовая характеристика или мера этого события.

- сумма событий (сложение) – событие состоящие в том, что произойдет A или B или оба.

- это событие, состоящее в том, что произойдет и A и B вместе.

- отрицание события A.

Диаграмма Эйлера-Венна.

1.2. Алгебра событий (Булева алгебра)

Свойства операций:

  1. Правило Моргана

 

                                           

                                             

- противоположное событие (отрицание).

Пусть - события, что (несовместимые между собой)

- образуют достоверное событие

- полная группа событий

1.3. Вероятность

Аксиоматическое определение вероятности

Опыт.

ММ,ДМ,МД,ДД

  1. - аксиома не отрицательности.
  2. - аксиома нормированности.
  3. Аксиома одитивности.

, если и несовместны.

- статистическая вероятность(относительная частота события)

- число благоприятных исходов.

- число всего опытов.

Классическая вероятность

- конечное множество состоит из элементарных исходов.

, где - это общее число всех исходов, а - это число благоприятствующих исходов.

Формулы комбинаторики

  1. Перестановки из элементов - это упорядоченное множество из элементов, число перестановок .
  2. Сочетания из элементов по элементов - называется подмножества элементов из , без повторений.
  3. Размещение из элементов по - упорядоченное подмножество элементов из
элементов.

Схема урн

= “2”к и “3”б

= “5”б

Геометрическая вероятность

1)

2)

Задача о встрече:

Теорема сложения

  1. Пусть и - несовместны тогда .
  2. Пусть и - совместны тогда .

Доказательство:

Пример:

- “курит” .

- “живет в общежитии” .

1.4. Условная вероятность

и - называются независимыми, если вероятность события не зависит от того, произошло ли событие и наоборот.

- условная вероятность события при условии, что событие произошло.

Теорема умножения

Если и - независимы, то .

Пример:

- 1й - б

- 2й - б

Теорема умножения для 3-х событий

Пример:

- 1й - б

- 2й - к

- 3й - ч

1.5. Вероятность появления хотя бы одного из события

Опыт:

Двое стреляют

- вероятность попадания 0,8.

- вероятность попадания 0,6.

A - вероятность, что хотя бы один попал.

- оба промаха.

- произошло хотя бы одно событие из .

- ни одно из событий не произошло.

- перегорит лампа.

- цепь не работает.

1.6. Формула полной вероятности

Пусть А – событие, которое происходит при наступлении одного из событий, которые образуют полную группу.

Доказательство:

– несовместны

Пусть , тогда

, , …, – гипотезы

Из всех групп выбирается только одна.

Пример:

Идет сдача экзамена

I – 20

II – 10

III – 15

– студент сдал экзамен

– случайно выбранный студент сдал экзамен

1.7. Формула Бейеса

Пусть событие уже произошло, тогда какова вероятность того, что произошло событие .

Полная вероятность , отсюда

Доказательство:

Пример:

Полная вероятность

Пусть произошло, тогда

1.8. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли

Испытания независимы, если вероятность элементарных исходов не зависят от предыдущих испытаний.

– число независимых испытаний

– может произойти с вероятностью

С какой вероятностью событие произойдет раз

, где

– вероятность успеха

– вероятность неуспеха

– число сочетаний способов

Доказательство:

Пример:

10 раз бросим монету, какова вероятность того герб выпадет 5 раз

Вероятность того, что событие произойдет от до раз в испытаниях:

Приближенные формулы в схеме Бернулли.

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Если достаточно велико, то вероятность в схеме Бернулли

, где

– количество испытаний

– вероятность успеха

– вероятность неуспеха

– функция Гаусса

, где , – ожидаемое количество успехов

Пример:

Свойства функции Гаусса:

– четная функция

– наивероятнейшее число успехов

Пример:

Наивероятнейшее число успехов

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Пусть – число испытаний (очень велико), тогда

, где

– функция Лапласа

Свойства функции Лапласа:

Функция нечетная, то есть

Пример:

– практически достоверно

Правило трех сигм

Пример:

Формула Пуассона

Если достаточно велико, а мало

– среднее значение успехов в испытаниях.

, где

Пример:

вызовов в час, какова вероятность того, что в течении 1 мин поступит вызовов.

Отклонение частоты

вероятности

Пример:

Парадокс раздачи подарков:

  1. – человек. Какова вероятность того, что каждому достанется свой подарок.
  2. При

  3. – подарков, – человек. Какова вероятность того, что какой – то человек получит подарков.

По формуле Пуассона:

– среднее число подарков

Теория вероятностей


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.