4. Оптимальный приемник полностью известных сигналов. Теория электрической связи

Теория электрической связи

4. Оптимальный приемник полностью известных сигналов

Рассмотрим систему связи, в которой передаются два сигнала S1(t) и S2(t) одинаковой длительности Т, произвольной (но известной) формы, априорные вероятности передачи Р(S1) и P(S2); помехи в канале связи флюктуационные, функция плотности распределения которых имеет гауссовский закон распределения вида

, (4.1)

где sn 2 - дисперсия (мощность) помех.

Задан критерий оптимального приема: идеальный наблюдатель (или наблюдатель В.А.Котельникова), который минимизирует среднюю вероятность ошибки

Рош = P(S1)P(y2/S1) + P(S2)P(y1/S2).

Найдем оптимальное правило решения и структурную схему оптимального приемника(оптимального РУ) для указанных выше условий передачи сигналов S1(t) и S2(t).

1. Для решения задачи используем общее для приемников двоичных сигналов правило решения (3.7). В рассматриваемом случае

l0 = P(S2)/P(S1), (4.2)

если l(x)> l0 ,то принимается решение в пользу сигнала S1 ,иначе - S2 .

Для упрощения решения положим вначале, что P(S1)= P(S2) = 0,5; тогда l0=1. В этом случае критерий идеального наблюдателя совпадает с критерием максимального правдоподобия.

2. Для определения функций правдоподобия w(x/S1) и w(x/S2) предположим, что на вход приемника поступает сигнал

x(t) = S1(t) + n(t) , например, вида рис. 4.1.

Возьмем n отсчетов сигнала x(t) через одинаковые интервалы Dt, равные интервалу корреляции помехи t0n. Рассмотрим отсчетные значения суммы сигнала S1(t) и помехи n(t) в различных сечениях t i . Так как расстояние между сечениями равно интервалу корреляции помехи, эти сечения некоррелированы между собой. А так как помеха распределена по гауссовскому закону (4.1), то эти сечения также и независимы.

В 1-ом сечении x(t1) = S1(t1) + n(t1);

в 2 -ом сечении x(t2) = S1(t2) + n(t2);

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

в k-ом сечении x(tk) = S1(tk) + n(tk).

Возьмем n отсчетов сигнала x(t) через одинаковые интервалы Dt, равные интервалу корреляции помехи t0n. Рассмотрим отсчетные значения суммы сигнала S1(t) и помехи n(t) в различных сечениях t i . Так как расстояние между сечениями равно интервалу корреляции помехи, эти сечения некоррелированы между собой. А так как помеха распределена по гауссовскому закону (4.1), то эти сечения также и независимы.

Плотность вероятности случайной величины х в k-м сечении при известном сигнале S1(tk) определяется выражением

, а k-мерная плотность вероятности, благодаря независимости сечений, будет равна произведению одномерных плотностей вероятности различных сечений

.

Аналогичное выражение можно записать для сигнала S2 , заменив в последнем выражении S1 на S2.

Тогда отношение правдоподобия l(x)= и, согласно правилу решения (3.7), если вычисленное значение l(х) > 1 (у нас l0 = 1), то приемник должен выдать сигнал S1 , в противоположном случае - сигнал S2. Отсюда получаем оптимальное правило решения в виде неравенства

, то S1 .

Прологарифмируем это выражение

- [x(t i) - S1(ti)]2 + [x(ti) - S2(ti)]2 >0 , т о S1

или в другом виде

[x(ti) - S1(ti)]2 < [x(ti) - S2(ti)]2 , то S1. (4.3)

Таким образом, оптимальный приемник (идеальный приемник Котельникова) работает следующим образом: определяется среднеквадратическое отклонение поступившего на его вход сигнала x(t) от обоих ожидаемых сигналов ( S1(t) и S2(t) ) и выносится решение в пользу того сигнала, где это среднеквадратическое отклонение меньше.

Если при вычислении условных вероятностей расстояние между сечениями Dt устремить к нулю, т. е. сделать Dt меньше интервала корреляции помехи, работа приемника не улучшится, так как соседние сечения будут сильно коррелированы, но и не ухудшится. Поэтому в правиле решения (4.3) можно заменить суммирование интегрированием.

В интегральной форме получим

[x(ti) - S1(ti)]2 dt < [x(ti) - S2(ti)]2 dt , то S1

или более компактно ( пунктир означает усреднение по времени)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

[x(ti) - S1(ti)]2 < [x(ti) - S2(ti)]2 , то S1. (4.4)

В соответствии с полученным правилом решения структурная схема приемника будет иметь вид, приведенный на рис. 4.2. Схема содержит два генератора опорных сигналов S1(t) и S2(t), которые генерируют точно такие же сигналы, которые могут поступить на вход приемника, а также два вычитающих устройства, два квадратора, два интегратора и схему сравнения, которая, в соответствии с (4.4), выдает сигналы S1 или S2 .

При этом следует подчеркнуть, что приемник Котельникова, как и многие другие приемники дискретных сигналов, выдает на выходе сигналы S1 и S2 , форма которых обычно отличается от формы сигналов в линии связи S1(t) и S2(t). Например, в линии связи эти сигналы могут представлять собой импульсы дискретной частотной модуляции, а на выходе приемника получаем импульсы постоянного тока прямоугольной формы.

Если вероятности передачи сигналов S1(t) и S2(t) не одинаковы, т.е. P(S1) не равно P(S2), то неравенство (4.4) принимает несколько другой вид

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

[x(ti) - S1(ti)]2 - 2s2n lnP(S1) < [x(ti) - S2(ti)]2 - 2s2n lnP(S1), то S1, (4.5)

а в структурной схеме рис.4.2 перед схемой сравнения добавляются выравнивающие устройства - В (показаны пунктиром).

Может показаться, что приведенная на рис. 4.2 схема приемника достаточно проста. Однако применяющиеся в схеме местные генераторы S1(t) и S2(t) должны выдавать сигналы по форме идентичные передаваемым сигналам, ожидаемым на входе приемника; поэтому эти генераторы должны синхронизироваться приходящими сигналами, а это сделать довольно трудно.

Теория электрической связи







© Банк лекций Siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки. Карта сайта
E-mail: formyneeds@yandex.ru