Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

3. Отношение правдоподобия. Теория электрической связи

Теория электрической связи

3. Отношение правдоподобия

Различение сигналов в приемном устройстве обычно осуществляют путем установления некоторого "порога" на выходе приемника, фактически играющего роль "границы подпространств" сигналов S1 и S2.

На рис. 3.1. приведен некоторый дискретный сигнал х(t) (импульсы постоянного тока), на который накладывается флюктуационная помеха и проведена пунктирная линия, соответствующая выбранному порогу хп.

Если величина x(t) < xп , приемник выдает сигнал S1, если же x(t) > xп , приемник выдает сигнал S2. Как видно из рисунка, на отрезке времени t1, t2 под действием сильной помехи величина х > xп , т. е. в этом случае приемник может выдать сигнал S2 , хотя передавался S1.

Различные критерии приема дискретных сигналов фактически отличаются способом установления величины порога. Данная задача проще всего решается с помощью "отношения правдоподобия". Для рассмотрения этого вопроса обратимся к рис. 3. 2.

Если бы на входе приемника отсутствовали помехи, мы имели бы дело с "чистыми" сигналами S1 и S2 и задача разделения сигналов была бы очень проста. При наличии же помех сигналы искажаются и для их описания приходится использовать вероятностное пространство. Сами сигналы вместе с помехами описываются уже функциями плотности вероятности w(x/S1) и w(x/S2), которые изображены на рис. 3.2. (эти функции умножены также на весовые коэффициенты П12Р(S1) и П21Р(S2)). На этом же рисунке показан порог хп.

Заштрихованная часть рисунка левее хп имеет площадь, равную

П21Р(S2)w(x/S2)dx = П21Р(S2)P(x/S2), (3.1)

а заштрихованная часть правее хп имеет площадь, равную

П12Р(S1)w(x/S1)dx = П12Р(S1)P(x/S1), (3.2)

Сумма этих величин, в соответствии с формулой (2.1), есть средний риск Rср. Из рис. 3.2. видно, что Rср будет минимальным, когда минимальна суммарная площадь под кривыми. Это будет в том случае, если величина хп соответствует точке пересечения кривых на рис. 3.2. Следовательно, условием получения min{Rср} является такой порог хп, при котором наступает равенство ординат приведенных кривых, т. е.

П12Р(S1)w(x/S1)dx = П21Р(S2)w(x/S2), (3.3)

откуда получаем следующее соотношение:

. (3.4)

Стоящее слева выражение называется отношением правдоподобия

l(х) = , (3.5)

а w(x/S i), которая представляет собой плотность вероятности того, что принятый сигнал х образовался при передаче сигнала Si , обычно называется функцией правдоподобия (функцией правдоподобия является также любая монотонная функция от w(x/Si), например log[ w(x/Si)]).

Чем больше значение w(x/S i), тем более вероятно, что х содержит сигнал Si (это очевидно из рис. 3.2). Справа стоящее выражение называется пороговым отношением правдоподобия

l0 = . (3.6)

Приемник, использующий отношение правдоподобия, работает следующим образом.

1. Анализируя поступающий на его вход сигнал, вычисляет отношение правдоподобия l(х).

2. По известным значениям априорных вероятностей Р(S1) и P(S2), а также заданным весовым коэффициентом П21 и П12, вычисляется пороговое отношение правдоподобия l0.

3. Величина l(х) сравнивается с l0,

если l(х) > l0, приемник выдает сигнал S1, в противном случае сигнал S2 . (3.7)

Выражение (3.7) является правилом решения Ф(х) решающего устройства, показанного на рис.1.3.

Правило решения (3.7) является общим для двоичных систем связи, использующих любой критерий оптимального приема ; отличие только в значении порога l0 .

Если приемник работает по критерию минимального среднего риска, величина l0 определяется формулой (3.6).

Для критерия идеального наблюдателя, в этой формуле коэффициенты

П12 = П21 = 1 и тогда l0 = P(S2)/ P(S1) , (3.8)

Для критерия максимального правдоподобия

П12 = 1/ P(S1) , П21 = 1/ Р(S2), тогда l0 =1. (3.9)

Если приемник использует критерий Неймана-Пирсона, то отношение правдоподобия l(х) становится случайной величиной, так как в равенстве (3.1) Р(у1/S2) = a (задается потребителем). Пороговое отношение правдоподобия определяется как верхний предел интеграла

(3.10)

где w(l) - плотность распределения отношения правдоподобия l(х).

Правило принятия решения приемником с использованием отношения правдоподобия рассмотрим на следующих примерах.

Условия задачи.

Пусть на вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала (дискретная амплитудная модуляция) и помехи:

, где i=1,2;

n(t) - флюктуационная помеха типа гауссовского шума с дисперсией .

На протяжении длительности одной элементарной посылки в решающей схеме приемника в синхронные моменты времени t1 и t2 произведено два отсчета(замера) сигнала x(t), причем Dt = t2-t1 больше интервала корреляции помехи n(t). Измеренные значения x(t1)= x1= 0,2 B; x(t2)= x2= 0,3 B. Амплитуда сигнала A=0,4 B.

Определить отношение правдоподобия и принять решение по критерию идеального наблюдателя, какой из двух сигналов (S1 или S2) поступил на вход приемника для двух случаев:

а) ;

б) ; .

Решение задачи(когерентный прием).

1. Найдем отношение правдоподобия .

Плотность вероятности сигнала x(t)=S1(t)+n(t) имеет вид

.

Так как на протяжении элементарного сигнала производятся два отсчета, то для нахождения отношения правдоподобия требуется найти двухмерную плотность вероятностей w2(x1x2/s1). Учитывая, что отсчеты некоррелированы (Dt больше интервала корреляции), а помеха распределена по гауссовскому закону, эти отсчеты можно считать независимыми. В этом случае двухмерная плотность вероятностей равна произведению одномерных плотностей

.

Аналогично

.

Отношение правдоподобия

.

Подставляя численные значения A,sn, x1, x2, получим: l (0,2;0,3)= 2,7.

2. Применяем правило решения (3.7 ).

а) Пороговое отношение правдоподобия при P(s1)=P(s2)=0,5

.

В нашем случае l(x1x2)=2,7 > l0=1 и приемник выдает сигнал S1.

б) Пороговое отношение правдоподобия при P(s1)=0,2 и P(s2)=0,8

.

В этом случае l(x1x2)=2,7 < l0=4 и приемник выдает сигнал S2.

Полученные результаты вполне объяснимы: в случае a) измеренное значение x(t1)=0,2B соответствует половине амплитуды А=0,4В, а измеренное значение x(t2)=0,3B ближе к сигналу S1, поэтому при равной вероятности сигналов приемник выдает решение в пользу сигнала S1; в случае б) измеренные значения сигнала ближе к S1, но зато сигнал S2(t) встречается в 4 раза чаще, чем сигнал S1(t), и точное решение задачи с учетом всех обстоятельств во втором случае получается в пользу сигнала S2.

Решение задачи(некогерентный прием).

Решим эту же задачу в предположении, что в приемнике используется обычный амплитудный детектор .

Найдем отношение правдоподобия для этого случая. Плотность вероятности x(t) при передаче сигнала S1(t) определяется обобщенным законом Релея

,

а плотность вероятности x(t) при передаче сигнала S2(t) определяется простым законом Релея

.

Как и в предыдущем примере, отношение правдоподобия будет определяться отношением двухмерных плотностей вероятности. После простых преобразований получаем

.

Подставляя сюда численные значения А, sn, x1, x2, получим

.

Как и в предыдущем примере, а) l0=1 и б) l0=4.

В обоих случаях l(x1x2)<l0 и в обоих случаях приемник выдает решение в пользу сигнала S2(t).

Сравнивая случаи принятия решения решающей схемой приемника при когерентном и некогерентном приеме, невольно возникает вопрос: почему получаются разные результаты в случае а).

Дело в том, что при когерентном приеме сигналы x(t) распределены по гауссовскому закону и оптимальный порог xo, определяемый точкой пересечения функций P(S1)×w(x/s1) и P(S2)×w(x/s2) (рис. 3.3), в этом случае (когда P(S1) =P(S2) и l0=1) соответствует половине амплитуды сигнала S1(t); измеренные же значения сигнала x(t) близки к пороговому значению и ближе к сигналу S1(t). Однако при некогерентном приеме сигналы x(t) распределены по законам Релея и оптимальный порог xo значительно выше, чем половина амплитуды сигнала S1(t) (рис. 3.4). Поэтому те же измеренные значения x(t1) и x(t2) оказываются дальше от порога в области сигнала S2(t) и решающая схема приемника при заданных в условиях задачи вероятностях сигналов S1(t) и S2(t) выдает решение в пользу сигнала S2(t).

Учитывая, что при когерентном приеме уровень помех на входе решающей схемы существенно ниже, чем при некогерентном, более вероятно, что ошибочное решение принял некогерентный приемник.

Теория электрической связи





Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru