2.4.5. Волновой анализ распространения мод

Проведем волновой анализ распространения мод на примере ОВ со ступенчатым ППП. Для этого рассмотрим ОВ без потерь двухслойной конструкции (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Конструкция ОВ двухслойной структуры

Лучевой метод расчета волоконных световодов не дает полной картины распространения волн в ступенчатом ОВ. Поэтому необходимо обращаться и к волновому методу решения уравнений Максвелла или волнового уравнения.

Волновое уравнение (2.40) в цилиндрической системе координат r, φ, z относительно компонентов электрического поля или магнитного поля Нz изменяющихся во времени t и вдоль оси z волокна, в виде

(2.50)

переходит в уравнение Гельмгольца:

(2.51)

где (2.52)

χ - поперечное волновое число, или собственное значение; β— фазовая постоянная.

Для описания поведения электромагнитного поля в сердцевине (0<r<a) и в оболочке (а<r<b) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов, функции сердцевины при r = 0 должны быть конечными, а в оболочке должны описывать спадающее поле. Используем цилиндрическую систему координат, ось которой совместима с осью цилиндра. Поверхностные составляющие напряженности электрического и магнитного полей могут быть выражены через продольные составляющие Еz и Нz. Для простоты решения уравнения (2.51) предположим, что оболочка ОВ с n2 на рис. 2.19 простирается до бесконечности (d=∞). Такое упрощение модели является оправданным и приводит к адекватным характеристикам мод реального ступенчатого ОВ, имеющего защитное покрытие, обеспечивающее механическую защиту ОВ. В таком случае n в формуле (2.52) равно или n1 в середине ОВ, или п2 во внешней среде. Для нахождения бегущих вдоль оси z волн необходимо для внешней среды положить

(2.53)

чтобы поле в радиальном направлении в среде п2 убывало. Тогда решение уравнения (2.51) можно записать:

для сердцевины ОВ с показателем преломления n1 в виде:

(2.54)

(2.55)

Зависимость всех полей от координат φ в виде cosnφ и sinnφ свидетельствует о том, что в волокнах круглого сечения моды на равных могут существовать в виде двух взаимно ортогональных поляризаций. Это значит, что моды в ступенчатом ОВ являются попарно вырожденными по поляризации, что особенно важно для передачи сигналов в одномодовом ОВ. Таким образом, решения (2.54) и (2.55) дают возможность изучить условия распространения волн в ступенчатом ОВ. В решениях (2.54) и (2.55) Аm, Вm, Сm и Dm — постоянные интегрирования; Jn, Nn — функции Бесселя первого и второго рода n-го порядка, соответственно; In и Kn –видоизмененные (модифицированные) функции Бесселя первого и второго рода п-го порядка, соответственно. Качественные характеристики функции в зависимости от собственных значений χ1r и a2r приведены на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Качественные зависимости функций Jn 1r),

Nn1r), In1r) и Kn1r) от аргумента χ1r2r)

При r→0 значение Nn →-∞. Но так как поле на оси сердцевины не может приобретать бесконечные значения, то необходимо положить Вm =0. Поле за пределами сердцевины должно убывать в радиальном направлении и при r→∞ должно стремиться к нулю. Однако In при этом стремится к бесконечности, что противоречит условию Зоммерфельда. Следовательно, надо положить Cm = 0, так как нас интересуют только направляемые моды вдоль оси z. Таким образом, функция Jn1r) описывает распределение поля внутри сердцевины ОВ, а функция Kn2r) описывает изменение поля за ее пределами (в среде с п2) и ведет себя при больших значениях а2r как exp( - а2r). Тогда уравнения (2.54) и (2.55) перепишутся в виде:

(2.56)

(2.57)

Постоянные интегрирования Ат и Dт могут быть определены на основании граничных условий, как отмечалось ранее. Поперечные составляющие электрических (Еr, Еφ) и магнитных (Нr, Нφ)полей могут быть выражены с помощью известных соотношений между поперечными и продольными (Еz, Нz) составляющими. Тогда, используя условие равенства тангенцианальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердцевина — оболочка (при r =a):

(2.58)

найдем постоянные интегрирования. Подставим их в уравнения типа (2.56) и (2.57), и после соответствующих преобразований получим следующее характеристическое уравнение:

(2.59)

Это уравнение позволяет определить структуру поля, параметры волн и характеристики ОВ. В общем случае оно имеет ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны, или модой. Обычно в ступенчатых ОВ, применяемых для линий передачи сигналов, n1n2. Тогда уравнение (2.59) можно переписать в виде:

(2.60)

В ступенчатом ОВ отсечка моды (критические условия) наступает при равенстве поперечного волнового числа в оболочке -α2=0, это возможно при β=k2. При этом условии из (2.60) следует, что

(2.61)

Отсюда видно, что низшая (основная) мода (п=0) имеет отсечку, определяемую из уравнения:

Первый корень этого характеристического уравнения χ1а= 0, и он соответствует моде НЕ11. В соответствии с решением (2.54) и (2.55) эта волна существует в виде двух взаимных ортогональных поляризаций НЕ11r и НЕ11B соответствующих cosφ и sinφ (рис. 2.21). Распределение плотности поперечного поля в поперечном сечении сердцевины подчиняется закону J01r), приближающемуся к Гауссовому закону exp(–r202) распределения поля в лазерном световом пучке. Вторая в порядке возбуждения мода для n=0 отсекается, когда функция J11r) второй раз становится равной нулю, т.е. когда χ1а= 3,83 (рис. 2.22). Эта мода обозначается НЕ12. Аналогично для n=0 следуют моды НЕ13, НЕ14

Рис. 2.21. Пример двух взаимноортогональных поляризаций моды НЕ11

В приведенных обозначениях мод первый индекс учитывает порядок функции, второй—номер корня (порядок решения), удовлетворяющего граничным условиям для данного порядка функции Бесселя.

Следующая совокупность мод соответствует n=1 или характеристическому уравнению:

. (2.62)

Первым корнем этого уравнения является χ1а=2,405. Ему соответствуют две волны Н01 и E01. Второму корню уравнения (2.62) соответствует следующая пара мод Н02 и Е02 и т.д.

В качестве примера значения части корней бесселевых функций Pпт = χ1а в зависимости от порядка функций и корня бесселевой функции, приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Значения корней бесселевых функций Pпт

Тип волны

Порядок функций, n

Pnm для номера корня функции, m

1

2

3

Eom, Hom

0

2,405

5,520

8,654

HE11

1

0,000

3,832

7,016

EH1m

1

3,832

7,016

10,173

HE2m

2

3,05

5,538

8,665

EH2m

2

5,136

8,417

11,620

Таким образом, функции Бесселя первого рода п-гo порядка дают бесконечное число корней. Причем корни функции J01а) определяют структуру поля симметричных волн (Eom,Hom), а Jп(χ1а) при п≠0 структуру несимметричных гибридных волн (EНom,HЕom). В индексе моды п — число изменений поля по диаметру, а т — число изменений поля по периметру сердцевины ОВ.

Симметричные волны электрические Eom и магнитные Hom имеют круговую симметрию (n=0). Раздельное распространение по световоду несимметричных волн типа Епт и Нпт невозмоно. В ОВ они существуют только совместно, т.е. имеются продольные составляющие Е и Н. Эти волны называются гибридными, дипольными и обозначаются через НЕпт, если поле в поперечном сечении напоминает поле Н, или Eпт, если поле в поперечном сечении ближе к волнам Е.

Волоконно-оптические кабели и линии связи


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.