5.3. Инерционные линейные цепи

Как уже отмечалось ранее, если выходной сигнал цепи определяется не только значениями входного сигнала в рассматриваемый момент времени , но и значениями входного сигнала в предыдущие моменты, то такая цепь называется инерционной. Если к этому же оператор преобразования линейный, то радиотехническая цепь является линейной инерционной цепью.

Линейные инерционные цепи (их ещё называют динамическими) нашли широкое распространение в радиотехнике. К ним относятся простейшие RC и RL цепи, колебательные контура и т.д. Как правило, линейные инерционные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями.

В качестве примера рассмотрим простейшую RC-цепь, изображённую на рис. 5.3, б. Согласно закону Кирхгофа можно записать

, (5.14)

где и - напряжения на соответствующих элементах цепи. Но напряжение является выходным сигналом цепи, т.е. . С другой стороны, напряжение на резисторе

,

где – ток, протекающий в цепи. Так как в цепь включена ёмкость, то ток протекающий в цепи:

,

.

Подставляя эти выражения в выражение (5.14), получим:

. (5.15)

Таким образом, простейшая RC-цепь описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Отметим, что состояние цепи характеризуется только напряжением на ёмкости, поэтому данная цепь является цепью первого порядка. Отсюда следует, что порядок дифференциального уравнения соответствует порядку цепи.

В общем случае линейная инерционная цепь описывается линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка

(5.16)

или в компактной записи

, (5.17)

где и - коэффициенты уравнения.

Если известно дифференциальное уравнение (5.16), описывающее линейную цепь, можно найти характеристики цепи. Применим к обеим частям уравнения (5.16) прямое преобразование Фурье. Тогда, с учётом (2.47) можно записать

,

откуда следует

. (5.18)

Для рассмотренной выше RC-цепи уравнение (5.15) можно представить в виде

,

где , ; .

Тогда комплексный коэффициент передачи цепи в соответствии с (5.18) будет иметь вид

Теперь, зная , можно определить импульсную характеристику, используя (5.13), а также переходную характеристику (5.8), АЧХ и ФЧХ цепи.

Радиотехнические цепи и сигналы


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.