5.4.1. Классический метод

Классический метод основывается на решении дифференциального уравнения вида (5.16), описывающего линейную цепь. Решение этого уравнения представляет собой сумму двух слагаемых

, (5.19)

где первое слагаемое представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения

, (5.20)

а второе слагаемое – частотное решение (5.16) при , где – правая часть уравнения (5.16). Физически – свободная составляющая полного отклика (выходного сигнала), представляет собой реакцию цепи на отключение(или включение) входного сигнала и характеризует переходные процессы в цепи. Второе слагаемое – вынужденная составляющая, является реакцией цепи после окончания переходных процессов и характеризует установившейся(стационарный) режим преобразования цепью входного сигнала. Обычно, классический метод используется для изучения переходных процессов, что приводит к необходимости решения уравнения (5.20). Общее решение однородного уравнения (5.20) имеет вид

, (5.21)

где , ,…, – постоянные коэффициенты, определяемые началь- ными условиями,

, ,…, – корни характеристического уравнения:

. (5.22)

Это уравнение имеет ровно n корней, при этом корни могут быть либо вещественными, либо комплексными, что определяет характер переходных процессов. Что же касается , то если входной сигнал является постоянным или периодическим, то после окончания переходных процессов выходной сигнал принимает форму входного сигнала. Так, если представляет собой гармонический сигнал, то также будет гармоническим, отличаясь от входного сигнала амплитудой и начальной фазой.

В качестве примера рассмотрим, что собой представляет отклик RC-цепи (рис. 5.3,8) на входной сигнал вида .

Дифференциальное уравнение цепи (5.15) перепишем в виде

,

где – постоянная времени.

Поскольку дифференциальное уравнение имеет порядок n=1, решение однородного уравнения

согласно (5.21), запишется в виде

,

где – корень характеристического уравнения

,

откуда следует . Тогда

.

До поступления входного сигнала ёмкость С разряжена. В момент поступления входного сигнала (скачка) ёмкость не может мгновенно зарядиться до , это произойдёт по мере перехода к установившемуся режиму. Очевидно в установившемся режиме

.

Таким образом, суммарный выходной сигнал

.

Коэффициент найдём из начальных условий. Начальными условиями при исследовании линейных цепей называют значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент времени . Так как в этот момент времени , то можно записать

,

Откуда следует . Тогда окончательно суммарный выходной сигнал

.

На рис. 5.4. изображены эпюры напряжений на входе и выходе исследуемой RC-цепи.

Радиотехнические цепи и сигналы


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.