5.5. Эффективная ширина спектра и интервал корреляции

При спектральных преобразованиях случайных процессов важное значение приобретает ширина спектра процесса. Эффективная ширина энергетического спектра определяется следующим образом:

, (5.73)

или

. (5.74)

Этому определению можно дать графическую интерпретацию. На рис. 5.7 изображена кривая одностороннего энергетического спектра. Построим прямоугольник с площадью, равной площади по кривой , одна сторона которого составляет величину (в данном случае ). Тогда вторая сторона прямоугольника будет характеризовать эффективную ширину энергетического 5.7.jpg спектра . Представим выражение (5.71) в следующем виде

.

Левая сторона этого равенства представляет собой среднюю мощность случайного процесса с равномерным энергетическим спектром в пределах полосы частот , а правая – среднюю мощность рассматриваемого случайного процесса.

Тогда эффективную ширину спектра рассматриваемого случайного процесса можно трактовать как ширину спектра процесса с равномерной плотностью мощности при равенстве средних мощностей обоих процессов.

Как подчеркивалось выше, автокорреляционная функция случайного процесса характеризует степень статистической связи между значениями процесса, разделенными интервалом времени . При этом, для эргодических процессов, которые изучаются в радиотехнике, АКФ стремится к нулю при неограниченном возрастании . Очевидно, при определенном значении , значения случайного процесса и можно считать статистически несвязанными (некоррелированными). Значение , при котором значения случайного процесса и становятся статистически несвязанными, называется интервалом корреляции.

Интервал корреляции определяется в соответствии с выражением

, (5.75)

где – нормированная автокорреляционная функция.

Знак модуля в (5.75) введен для случая, когда может принимать отрицательные значения. На рис. 5.8 приведена графическая интерпретация понятия интервала корреляции. Интервал корреляции представляет собой сторону прямоугольника, по площади равному площади под кривой при .

5.8.jpg Установим связь между эффективной шириной спектра и интервалом корреляции в предположении, что , а функция корреляции представляет собой неотрицательную монотонно убывающую функцию, что позволяет в (5.75) полагать . Найдем произведение и с учетом (5.73) и (5.75).

.

Подставляя в это выражение формулы (5.67) и (5.68) после несложных преобразований получим

. (5.76)

Аналогично, используя выражения (5.71), (5.72), (5.74) и (5.75), можно получить

. (5.77)

Таким образом, произведение эффективной ширины спектра и интервала корреляции представляет собой постоянную величину. Из этого вытекает, что чем шире энергетический спектр, тем меньше интервал корреляции между его значениями и наоборот. Но ширина энергетического спектра определяет скорость изменения значений случайного процесса: чем больше (или чем меньше ), тем выше скорость изменения процесса.

Радиотехнические цепи и сигналы


*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.