8.2. Дискретное преобразование Фурье

Модель дискретного сигнала вида (8.10) предполагает, что отсчетные значения аналогового (непрерывного) сигнала берутся на неограниченном интервале времени. Однако, на практике осуществить такую дискретизацию невозможно, т.е. реальные сигналы ограничены во времени и дискретизация проводится на конечном интервале времени, равном длительности сигнала .

Рассмотрим особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на интервале своими отсчетами , взятыми соответственно в моменты времени . Очевидно, что полное число отсчетов равно .

При спектральном анализе дискретных сигналов ограниченной длительности полагают, что такой сигнал периодически повторяется, с периодом равным (рис. 8.3а). А это означает, что такой периодический сигнал может быть представлен рядом Фурье (тригонометрическим или комплексным). Поскольку спектр периодического дис8.3.jpg кретного сигнала, с одной стороны, является периодическим на оси частот с периодом , а спектр периодического на оси времени сигнала является линейчатым, следует ожидать, что спектр рассматриваемого ограниченного дискретного сигнала должен быть периодическим на оси частот и носить линейчатый характер. Действительно, для ограниченного во времени дискретного сигнала его представление (8.10) принимает вид

. (8.12)

Поскольку в соответствии с принятой методикой анализа является периодическим с периодом , разложим его в комплексный ряд Фурье

, (8.13)

где ; .

Комплексные амплитуды для рассматриваемого случая вычисляются следующим образом

. (8.14)

Подставляя (8.12) в (8.14), получим

.

Вводя безразмерную переменную и изменяя порядок суммирования и интегрирования, получим

.

И наконец, учитывая фильтрующее свойство -функции, окончательно приходим к результату

. (8.15)

Ввиду того, что является постоянной величиной, ее в (8.15) можно опустить и пользоваться только номерами отсчетов (8.15) принимает вид

. (8.16)

Выражение (8.16) является прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и представляет собой алгоритм вычисления спектральных коэффициентов при известных значениях отсчетов . При этом, вычисления проводятся с использованием математических операций сложения, умножения и задержки средствами ЭВТ.

Совокупность представляет собой дискретный спектр периодического дискретного сигнала. На рис. 8.3б изображена спектральная функция дискретного сигнала. Как и предполагалось, спектральная функция является периодической с периодом , поскольку периодическим является сомножитель в (8.16) и дискретный сигнал также рассматривается как периодический (значения аргумента повторяются через каждые отсчетов). При этом, если число отсчетов дискретного сигнала четное, то первые значений составляющих соответствуют положительным частотам, а последующие значений , а также – отрицательным частотам (рис. 8.3б). Очевидно, что .

В дальнейшем удобно представлять дискретный сигнал в виде дискретной последовательности отсчетов . Тогда, в качестве периода дискретного сигнала выступает значение числа отсчетов и последовательность является периодической с периодом . Аналогично и спектральная функция является дискретной по оси частот последовательностью с тем же периодом .

Наряду с прямым ДПФ существует и обратное преобразование Фурье

. (8.17)

Обратное ДПФ позволяет рассчитать последовательность отсчетных значений , т.е. дискретный сигнал, если известна его спектральная функция в виде совокупности значений . Очевидно, обратное ДПФ приводит к периодической временной функции с периодом в отсчетов.

Отметим важное для практического использования ДПФ обстоятельство. При выводе (8.16) предполагалось, что дискретный сигнал представляет собой периодическую функцию времени. Вместе с тем на практике дискретный сигнал определен на интервале или на интервале . Вне этого интервала отсчетные значения равны нулю, однако и в этом случае выражения (8.16) и (8.17) справедливы для расчетов. Действительно, последовательность отсчетов , определенных на интервале , можно рассматривать как только один период соответствующей периодической последовательности и значения , рассчитанные в соответствии с (8.16) следует считать равными нулю вне интервала . Аналогично, обстоит дело и при вычислении значений по формуле (8.17).

Рассмотрим некоторые свойства ДПФ. Для краткости записи пару ДПФ будем представлять в виде

.

1.                Линейность ДПФ. Пусть и два дискретных сигнала длиной отсчетов, а и – постоянные коэффициенты. Тогда

. (8.18)

2.                Свойство временного сдвига. Если дискретному сигналу соответствует ДПФ , то

, (8.19)

т.е. сдвиг дискретного сигнала на интервалов приводит к изменению только его фазового спектра. Отметим, что временной сдвиг для дискретной последовательности представляет собой, так называемый круговой сдвиг. При круговом сдвиге значения отсчетов в зависимости от знака поочередно переносятся в начало или конец последовательности . Так, например, круговой сдвиг последовательности на интервалов при приводит к последовательности

,

т.е. отсчетов поочередно переносятся в конец последовательности.

3. Свойство симметрии. Это свойство фактически было уже рассмотрено выше при анализе спектральной функции (рис. 8.3б). Если – четное число, то свойство симметрии определяется следующим выражением

. (8.20)

Приведем некоторые соотношения, вытекающие из (8.16).

Спектральная составляющая

, (8.21)

является средним значением всех отсчетов.

Если – четное число, то

. (8.22)

Радиотехнические цепи и сигналы


*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.