Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

7. Широкополосные сигналы в задачах временного измерения, синхронизации и разрешения

7.4. Оптимизация апериодических ФМ сигналов

            Сформулированная выше оптимизационная задача, подобно многим задачам дискретной оптимизации, не имеет какого-либо общего аналитического решения, и типичным подходом к ней является полный перебор. Ограничимся классом ФМ сигналов, нередко признаваемых наиболее привлекательными.

            Для любого ФМ сигнала , так что , и крайний правый боковой лепесток апериодической АКФ . Таким образом, для максимального бокового лепестка АКФ апериодического ФМ сигнала справедлива нижняя граница

.

           

ФМ сигналы, достигающие данной границы, безусловно, оптимальны в свете минимаксного критерия. В литературе они обычно фигурируют под названием кодов Баркера по имени одного из первых их исследователей. Фактически Баркер описал оптимальные бинарные коды, лежащие на данной границе. Традиционно бинарные последовательности символов  считаются особо привлекательными, поскольку их алфавит в наибольшей степени согласуется с цифровой элементной базой, минимизируя сложность формирования и обработки. В следующей таблице приведены все бинарные коды Баркера. АКФ дискретного сигнала, манипулированного кодом Баркера длины , представлена на рисунке ниже.

            Проиллюстрируем вкратце процедуру согласованной фильтрации сигнала Баркера, прибегнув к конкретному примеру.

            Пример 7.4.1. На рисунке показана структура согласованного фильтра для сигнала Баркера длины . Первый ее блок – линия задержки с отводами, шаг которых равен периоду следования чипов . Сигналы с отводов подаются на сумматор с весами, последовательность которых зеркальна по отношению к коду. Вторым блоком схемы служит фильтр, согласованный с одиночным чипом (СФОИ). На рисунке справа представлены осциллограммы, пронумерованные соответственно точкам схемы и воспроизводящие подробности согласованной фильтрации видеосигнала Баркера с прямоугольными чипами. Когда последний чип сигнала приходит на вход фильтра, все предшествующие чипы появляются на входах сумматора в положительной полярности и суммируются в фазе, генерируя главный пик АКФ. До и после этого момента на выходе фильтра наблюдаются боковые лепестки

            К сожалению, бинарные коды Баркера существуют только для длин, перечисленных в вышеприведенной таблице. Еще в начале 60-х годов Турин и Сторер доказали их несуществование для любых иных нечетных длин и для четных, по крайней мере, в диапазоне . Согласно последним публикациям верхняя граница отодвинута до 1 898 884, и вероятность существования бинарных кодов Баркера четной длины вне этого диапазона крайне мала. Значительные усилия неоднократно предпринимались по поиску небинарных ФМ кодов Баркера с эквидистантным фазовым алфавитом (многофазные или М-ичные ФМ коды), однако достигнутые на этом пути результаты пока далеки от обнадеживающих. Оказалось, что даже весьма скромный прирост длины можно получить только в обмен на значительное увеличение объема  фазового алфавита. Например, небинарный код Баркера длины  требует, по меньшей мере,  эквидистантных значений фазы. Большой размер алфавита неизбежно сопряжен с серьезными усложнениями аппаратной реализации, а также резким ужесточением требований к допустимым реализационным погрешностям, дрейфу параметров и т.п.

            Существование кодов Баркера только малой длины подталкивает к поиску приемлемых бинарных последовательностей большей длины с уровнем боковых лепестков выше границы для . Поскольку ненормированная АКФ любой бинарной последовательности есть сумма слагаемых , возможные значения  для «небаркеровких» кодов принадлежат множеству . Гарантию нахождения глобально оптимального (т.е. имеющего минимально возможное значение  при заданном ) бинарного кода может обеспечить лишь полный перебор всех возможных кодов. К сожалению, вычислительный ресурс, необходимый для подобной оптимизации, экспоненциально возрастает с увеличением длины  и выходит за грань реальности при длинах  больше 50.

            По этой причине популярной становится стратегия поиска бинарных кодов с приемлемо малым – без гарантии глобальной оптимальности уровнем апериодического бокового лепестка . Общая идея алгоритма решения такой задачи сводится к предварительному отбору некоторого достаточно узкого подмножества последовательностей, в котором подозревается наличие кодов с подходящими корреляционными свойствами, и последующему полному перебору, минимизирующему  только в пределах отобранного подмножества. Одним из примеров подобной стратегии является поход, основанный на соотношении, которое связывает апериодическую АКФ с периодической:

,

где через  обозначен максимальный боковой лепесток периодической АКФ кодовой последовательности. Откуда непосредственно следует, что

.

            Последнее неравенство позволяет сделать весьма примечательный вывод: необходимым условием «хорошей» апериодической АКФ является хорошая (имеющая малый максимальный боковой лепесток ) периодическая АКФ. Иначе говоря, последовательности с хорошей апериодической АКФ могут быть найдены только среди последовательностей с хорошей периодической АКФ. Как будет показано позднее, существуют достаточно продуктивные аналитические инструменты построения последовательностей с хорошими периодическими АКФ. Эта возможность закрепляет за периодической АКФ приоритетную роль в синтезе последовательностей с приемлемыми корреляционными свойствами и оправдывает акцент следующего раздела на изучении свойств периодической АКФ.



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.