Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами

8.1. Идеальная периодическая АКФ. Минимаксные бинарные последовательности

            Мотивация интереса к последовательностям с хорошей периодической АКФ не ограничивается лишь их привлекательностью как исходного материала для построения хороших апериодических последовательностей. Для многих приложений характерно использование дискретных сигналов в периодическом варианте (непрерывная локация, навигация, пилотные каналы мобильной связи и т.п.), что предопределяет критическое влияние свойств периодической АКФ (ПАКФ) на качество функционирования системы. Отметим также, что не существует никаких принципиальных ограничений к достижению нулевого уровня боковых лепестков ПАКФ ФМ сигналов, как это имело место в апериодической версии, поскольку в выражении

сумма при любом значении  содержит  слагаемых, которые потенциально могут скомпенсировать друг друга, обеспечивая нулевой результат. Тогда естественно стремление к отысканию ФМ кодовых последовательностей с идеальной ПАКФ, все боковые лепестки которой равны нулю

.

            Дискретный видеосигнал с прямоугольными чипами, манипулированными кодом с подобными свойствами, также будет обладать идеальной ПАКФ: основные лепестки, повторяющиеся с периодом , и свободное от любых боковых лепестков пространство между ними (см. рисунок).

Аналогичным будет и отклик фильтра, согласованного с однопериодным сегментом сигнала. Следовательно, при идеальности ПАКФ имеет место идеальная (без боковых лепестков) временная компрессия сигнала согласованным фильтром. Иллюстрацией сказанному для радиосигнала служат диаграммы на рисунке.

            Как и ранее, наиболее привлекательны в реализационном плане бинарные  последовательности с идеальной ПАКФ. Простое необходимое условие существования бинарных кодов с идеальной ПАКФ может быть получено в результате суммирования значений ненормированной ПАКФ при всех возможных сдвигах :

где знак комплексного сопряжения опущен за ненадобностью, поскольку все , а

– постоянная составляющая (разность между числом «+1» и «–1» на одном периоде) кодовой последовательности . Поскольку последняя всегда принимает лишь целочисленные значения, а ПАКФ, как сумма «», может принять нулевое значение только при четном числе слагаемых (длине кода) , то необходимое условие идеальности периодической АКФ для бинарной последовательности имеет вид

            Все подобные длины были проанализированы Турином в начале 60-х, который показал, что в диапазоне  единственным бинарным кодом с идеальной ПАКФ является тривиальный код длины 4 вида:{+1 +1 +1 –1}. Согласно более поздним результатам несуществование подобных последовательностей установлено вплоть до длин . Возможность их существования за пределами названного диапазона представляется крайне сомнительной.

            Очевидно, что в отсутствие бинарных кодов с идеальной  периодической АКФ следующими по привлекательности являются последовательности, для которых  принимает значения  при , т.е. . Рассмотрим разность

,

в которой все ненулевые слагаемые равны двум, а их число всегда четно. Следовательно, указанная разность всегда кратна четырем

,

где t – целое.

            Очевидно, можно надеяться на отыскание бинарных кодов со всеми положительными боковыми лепестками  только при длинах вида  и со всеми отрицательными  при длинах , где  – целое. Поскольку данные последовательности обладают теоретически минимальным уровнем боковых лепестков периодической АКФ  для бинарных кодов нечетной длины, то их называют минимаксными.

            Из двух возможных вариантов второй оказывается наиболее продуктивным. В настоящее время известно пять мощных регулярных правил генерирования минимаксных последовательностей с боковыми лепестками ПАКФ равными , два наиболее популярных из которых будут рассмотрены в дальнейшем.



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.