Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами

8.4. Дополнение о конечных полях

   

         Расширим немного наши знания о конечных полях. Аналогично арифметике по модулю два можно использовать правила сложения и умножения по модулю числа , удерживая после обычных операций сложения и умножения целых чисел только остаток от деления результата на целое . Если  является простым числом, то эти операции порождают конечное поле  порядка  (т.е. содержит  элементов), называемое простым полем.

       

     Пример 8.4.1. Взяв  и составив таблицы сложения и умножения (см. таблицу справа), содержащие остатки от деления на 5, приходим к операциям, обладающим всеми характерными свойствами поля: эти операции удовлетворяют законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Кроме того, присутствует нулевой (не изменяющий результата сложения) и единичный (не изменяющий результата умножения) элементы. Данные операции являются обратимыми: любому элементу  можно сопоставить обратный элемент по сложению , такой что , а для любого ненулевого элемента  существует обратный элемент по умножению . В то же время не существует поля с арифметикой по модулю 4: элемент  не имеет обратного по умножению элемента, поскольку обычное произведение любого целого на 2 дает четное число, остаток от деления которого на 4 также будет четным.

            В любом поле автоматически присутствуют степени любого элемента  с обычными правилами обращения с ними:

.

            Однако в отличие от поля вещественных чисел, в конечном поле  имеется конечное число различных степеней элемента , поскольку общее число элементов поля  конечно. Специфический элемент  поля , степени которого пробегают все ненулевые элементы поля  называется примитивным. Следовательно, все степени примитивного элемента  вида:  различны и совпадают с некоторым ненулевым элементом поля. Можно доказать, что в любом конечном поле существует (не единственный) примитивный элемент.

            Пример 8.4.1. (продолжение) Элемент 2 в поле  является примитивным, поскольку его  степеней , , , , , … различны и, как видно, исчерпывают все ненулевые элементы поля . С другой стороны, элемент 4 не является примитивным, т. к. , ,  и элементы 2 и 3 не являются некоторой степенью 4.

            Поскольку любой ненулевой элемент  поля  есть некоторая степень примитивного элемента , то вполне естественно назвать показатель этой степени логарифмом элемента  по основанию :

.

         Двузначным характером (символом Лежандра)  ненулевого элемента  поля  называется функция, принимающая значения  и  в зависимости от четности или нечетности логарифма элемента :

            В дальнейшем понадобятся следующие свойства двузначного характера.

            1. Характер единицы поля  равен единице: .

            2. Характер – мультипликативная функция, иными словами, характер произведения ненулевых элементов есть произведение их характеров: .

            3. Свойство уравновешенности: сумма характеров всех ненулевых элементов поля  равна нулю: .

            4. Характер элемента, противоположного единице, т.е.  принимает значения :



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.