Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами

8.5. Последовательности Лежандра

Бинарные последовательности Лежандра формируются на основе двузначного характера. Возьмем простое и построим простое поле . Отождествим его элементы с номерами позиций символов периодической бинарной последовательности периода . Тогда для периодической версии последовательности Лежандра правило формирования определяется в виде

Используя свойства двузначного характера, достаточно просто доказать, что ПАКФ последовательности Лежандра длины

для любого , т.е. в точности совпадает с ПАКФ m–последовательности

.

Следует отметить, что присвоение первому элементу последовательности значения –1 приведет к тому же конечному результату.

Пример 8.5.1. Длина принадлежит множеству вида . В поле элемент является примитивным, поскольку возведение его в степень 0, 1, …, 5 генерирует все различные ненулевые элементы : . Как прямо видно из этого ряда, логарифмы элементов 1, 2, и 4 четны, тогда как элементов 3, 5 и 6 – нечетны. Следовательно, , и . Расстановка символов +1 на позициях и –1 на позициях дает последовательность Лежандра:

.

Вычисления, поясняемые таблицей слева, подтверждают, что все боковые лепестки ПАКФ данной последовательности, равны –1.

Последовательности Лежандра образуют достаточно мощный класс бинарных кодов с минимаксной периодической АКФ. Так например, в диапазоне от 50 до 1500 имеется только пять длин, для которых существуют -последовательности, тогда как для последовательностей Лежандра это количество равно 114.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.