Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

9. Дискретные сигналы с идеальной периодической АКФ

            Хотя бинарные m–последовательности и последовательности Лежандра наряду с тремя другими классами бинарных кодов обладают максимальным периодическим боковым лепестком , снижающимся с ростом длины, все же вероятны ситуации, когда нужное значение  для них можно получить лишь за счет неприемлемо больших длин . К примеру, для многих локаторов, сонаров и других дальномерных систем требование временного разрешения сигналов в динамическом диапазоне более 80 дБ является вполне рутинным. Для его выполнения на основе оптимальных бинарных кодов длины последних должны превышать , что может неоправданно замедлить процедуру начального поиска. Разумеется, во многих подобных сценариях наилучшим выбором были бы последовательности с идеальной ПАКФ, которая, однако, нереализуема на множестве бинарных кодов, традиционно считающихся наиболее привлекательными технологически. В настоящем разделе анализируются возможности осуществления идеальной периодической АКФ в случаях, когда алфавит последовательности не ограничен рамками противоположной бинарной пары .

9.1. Бинарные последовательности с непротивоположными символами

            Замена противоположного алфавита  на некоторый бинарный непротивоположный позволяет обратить в нуль все периодические боковые лепестки любой бинарной минимаксной последовательности. Простейший путь построения упомянутого алфавита – добавление константы  (в общем случае комплексной) к начальной  последовательности  с заменой тем самым символов +1 и –1 на  и  соответственно. Периодическая АКФ модифицированной таким образом последовательности вычисляется непосредственно:

,

где , как обычно, постоянная составляющая исходной последовательности .

            Для любой минимаксной последовательности , т.е. . Так как изменение знака всех элементов последовательности не меняет АКФ, можно, не ограничивая общности, считать . Поэтому, потребовав равенства боковых лепестков последовательности  нулю и учитывая минимаксные свойства исходной последовательности, получаем уравнение для комплексной неизвестной :

.

            Найдем потенциально наиболее интересные решения последнего уравнения. Когда желателен действительный алфавит, , то имеем квадратное уравнение

с корнями . Новые бинарные непротивоположные символы  и  теперь можно поделить на  с целью сохранения +1 как символа нового алфавита. После этого правило преобразования бинарной минимаксной последовательности в последовательность с идеальной АКФ предстает в виде: все символы –1 заменяются на

,

тогда как все элементы +1 остаются без изменения.

            Описанное решение приводит к алфавиту из двух противоположных символов разной амплитуды, т.е. к амплитудной модуляции (см. рисунок (a)).

            Альтернативным решением служит непротивоположный ФМ алфавит, к которому легко прийти, положив  чисто мнимым: . Тогда  имеет решения , а новые символы  и  после деления на  принимают вид 1 и , где  (рисунок (b)).

            Представленный непритязательный способ преобразования алфавита, едва ли можно признать эффективным в практическом отношении. Как видно, его результатом являются довольно экзотические значения комплексных амплитуд кода, установка и поддержание которых с требуемой точностью технологически достаточно проблематичны.



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.