Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

9. Дискретные сигналы с идеальной периодической АКФ

9.4. Подавление боковых лепестков вдоль оси запаздываний

            Предположим, что проектировщик системы не склонен отказываться от бинарных  последовательностей и, в то же время, не удовлетворен достижимым для них уровнем боковых лепестков периодической АКФ . В подобных обстоятельствах эффективно разрешить эти противоречивые запросы, можно «имитацией» идеальной периодической АКФ за счет отказа от согласованной фильтрации в пользу специальной рассогласованной обработки, устраняющей боковые лепестки на всем периоде сигнала.

            Рассмотрим некоторую последовательность  периода , которая манипулирует чипы длительности , и фильтр с конечным импульсным откликом, осуществляющий суммирование  сигнальных копий, задержанных на  и взвешенных коэффициентами , как показано на рисунке слева. При подаче на вход последовательности , отклик фильтра описывается последовательностью , элементы которой находятся сверткой

            Наложим на фильтр следующие требования

,

означающие физически, что выходной сигнал фильтра имеет ненулевые главные пики, повторяющиеся с периодом , тогда как все боковые лепестки между ними равны нулю. Подобный фильтр, называемый далее фильтром подавления боковых лепестков (ФПБЛ), имитирует своим откликом идеальную периодическую АКФ. В связи с нереализуемостью (за единственным тривиальным исключением) идеальной периодической АКФ в классе бинарных кодов ФПБЛ оказывается рассогласованным и, следовательно, проигрывает согласованному фильтру в выходном отношении сигнал-шум.

            Кратчайший путь отыскания коэффициентов фильтра в явном виде – применение дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Последовательность  и компоненты ее ДПФ-спектра  связаны друг с другом прямым и обратным ДПФ:

.

Наша цель – получение на выходе фильтра дискретной дельта-функции, имеющей единственный ненулевой элемент на периоде. Спектр такой последовательности равномерен: . Тогда на основании теоремы о свертке спектр последовательности на выходе фильтра , где спектр последовательности коэффициентов фильтра  есть не что иное, как передаточная функция ФПБЛ:

.

            Как показывает последнее равенство, ФПБЛ физически реализуем для любой периодической последовательности, ДПФ-спектр которой не содержит нулевых компонент. Вычислив обратное ДПФ, приходим к явному выражению для коэффициентов ФПБЛ

.

            Как известно, согласованная обработка обеспечивает максимум отношения сигнал–шум на выходе фильтра. Очевидно, что использование ФПБЛ, отличающегося от СФ, приведет к энергетическим потерям, которые и служат платой за достижение идеальности сжатия. Оценим величину потерь в отношении сигнал-шум.

            Если бы фильтр был согласованным, его коэффициенты составляли бы последовательность, зеркальную ко входной: , и амплитуда выходной последовательности оказалась бы равной , поскольку входная последовательность – бинарная. Для входного шума, имеющего время корреляции в пределах  и дисперсию , дисперсия на выходе согласованного фильтра . Таким образом, отношение сигнал-шум по мощности  на выходе согласованного фильтра

.

            Подобным же образом, амплитуда выходной последовательности ФПБЛ , а дисперсия шума

.

С учетом связи между периодической АКФ произвольной последовательности и ее энергетического спектра, а также выражения для спектра коэффициентов фильтра  получаем следующее выражение для дисперсии шума на выходе фильтра

,

после чего отношение сигнал-шум по мощности  на выходе ФПБЛ принимает вид

.

Теперь можно рассчитать энергетические потери  ФПБЛ по отношению к согласованному фильтру как

.

Следовательно, потери ФПБЛ в отношении сигнал-шум  определяются неравномерностью энергетического спектра  входной последовательности

            Возможность устранения всех периодических боковых лепестков по существу означает ориентацию на новый критерий синтеза бинарных последовательностей, альтернативный минимизации максимального бокового лепестка . Более естественной представляется минимизация цены устранения боковых лепестков, которой, разумеется, являются потери в отношении сигнал-шум .

            Как и во многих задачах, касающихся бинарных последовательностей, глобально оптимальная бинарная последовательность фиксированной длины  с минимальными потерями  может быть найдена только полным перебором. Разумеется, экспоненциальный рост необходимого вычислительного ресурса препятствует продвижению поиска далеко за рамки указанного диапазона. Однако на данный момент известны многие регулярные правила построения бинарных последовательностей сколь угодно большой длины с очень малыми потерями  (хотя и без гарантии их глобальной оптимальности).

            Рассмотрим специальный класс бинарных последовательностей с двухуровневой периодической АКФ, т.е. постоянным уровнем  боковых лепестков

Для последовательностей данного типа

,

где  – нормированный уровень бокового лепестка АКФ, а коэффициенты ФПБЛ определяются соотношением

.

Первое слагаемое правой части этого равенства соответствует последовательности , считываемой справа налево, т.е. коэффициентам согласованного фильтра. Таким образом, для последовательности с двухуровневой АКФ ФПБЛ можно получить, слегка модифицируя согласованный фильтр вычитанием из всех его коэффициентов определенной константы. Более того, для бинарных последовательностей этого класса коэффициенты ФПБЛ принимают лишь два возможных значения , где  – по-прежнему постоянная составляющая последовательности, т.е. разность между количествами положительных и отрицательных единиц на периоде: .

Пример 9.4.1. Построим ФПБЛ для периодического бинарного кода Баркера длины : , для которого , и постоянная составляющая . Периодическая АКФ такого кода, как легко поверить непосредственно, является двухуровневой с . На рисунке (a) показана ПАКФ (т.е. отклик согласованного фильтра) периодического сигнала с прямоугольными чипами, модулированного рассматриваемым кодом. Согласованный фильтр для данной последовательности легко трансформируется в ФПБЛ заменой коэффициентов +1 на  и –1 на , которая с соответствующим масштабированием равносильна замене –1 на –2 при неизменности всех коэффициентов +1 (см. рисунок (b). Отклик ФПБЛ на данный сигнал построен на рисунке следующего слайда, на котором оцифровка диаграмм соответствует точкам схемы. Выходной сигнал фильтра имеет желаемую форму, т.е. нулевой уровень боковых лепестков. Легко подсчитать, что энергетические потери в ФПБЛ  (0,46 дБ).



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.