Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

1. Классические задачи обнаружения/различения и проблема оптимизации сигналов

1.1. Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие правила

            Любая информационная система, в которой данные передаются из одной пространственной точки в другую, может быть представлена следующей абстрактной моделью. Пусть имеется некоторый источник, генерирующий одно из  возможных сообщений. Каждое из  конкурирующих сообщений передается своим специфическим сигналом, так что имеется множество  из возможных сигналов: . Источник выбирает некоторый определенный сигнал  и подает его на вход канала (см. рисунок). На приемной стороне (на выходе канала) наблюдается принятое колебание , которое является не точной копией переданного сигнала , а результатом трансформации , обусловленной искажающим воздействием шумов и помех, присутствующих в любом реальном канале. Классическим вопросом теории радиоприема является следующий: что представляет собой наилучшее правило решения о том, какое из возможных сообщений (или сигналов) было передано, если принято наблюдение ?

       

     Для ответа на поставленный вопрос необходимо знать модель канала. Математическое описание канала дается переходной вероятностью , характеризующей вероятность трансформации каналом заданного входного сигнала в то или иное выходное наблюдение . Если значения переходной вероятности  известны для всех возможных пар  и , канал исчерпывающе описан.

            При равной вероятности всех сообщений источника (что, как правило, характерно для разумно спроектированной системы) оптимальной стратегией наблюдателя, обеспечивающей минимальный риск перепутывания действительно переданного сигнала с каким-то другим, является правило максимального правдоподобия (МП). Согласно этому алгоритму по получении колебания  решение принимается в пользу того сигнала, для которого вероятность трансформации каналом именно в наблюдение  является наибольшей (в сравнении с другими сигналами).

            В теории связи наиболее распространенной моделью служит канал с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ), или просто гауссовский канал, в котором переходная вероятность экспоненциально уменьшается с ростом квадрата евклидова расстояния между переданным сигналом и выходным наблюдением:

,

где  – константа, не зависящая от  и ,  – односторонняя спектральная плотность мощности белого шума, а евклидово расстояние между  и  определяется как

где T – интервал наблюдения.

            Очевидно, что правдоподобие сигнала (вероятность того, что именно он преобразован каналом в наблюдение ) уменьшается с увеличением евклидова расстояния между  и .Следовательно, правило МП для гауссовского канала можно переформулировать как правило минимума расстояния: решение принимается в пользу сигнала , поскольку он наиболее близок (в смысле евклидова расстояния) к наблюдению  среди всех  конкурирующих сигналов.

            Часто при отображении сообщений в сигналы выдвигается требование равенства энергии для всех сигналов. В этом случае правило минимума расстояния можно толковать как правило максимума корреляции, означающее, в частности, что среди всех возможных сигналов одинаковой энергии принятым объявляется тот, который имеет наибольшую корреляцию с наблюдением

.



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.