Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

1. Классические задачи обнаружения/различения и проблема оптимизации сигналов

1.3. Передача М-ичных данных

            Обратимся к более общему случаю, когда M альтернативных сигналов s1(t), s2(t), …, sM(t) переносят M возможных сообщений по АБГШ каналу. В наиболее типичной ситуации энергии всех сигналов одинаковы

,

что в геометрической интерпретации означает равенство длин всех сигнальных векторов.

            Для принятого наблюдения y(t) вычисляются расстояния (или корреляции) между наблюдением и всеми конкурирующими сигналами и решение выносится в пользу того сигнала, который наиболее близок к y(t):

.

            Для минимизации риска ошибочного решения (т.е. перепутывания одного сигнала с некоторым другим) необходима одновременная максимизация всех расстояний. Однако в данных условиях подобная задача оказывается весьма нетривиальной, поскольку они могут конфликтовать друг с другом: удаление некоторого вектора от соседнего, чревато риском приближения его к какому-то третьему. Можно показать, что минимальное расстояние между любой парой различных сигналов ограничено следующим соотношением

.

            Следовательно, если вероятность перепутывания ближайших сигналов (максимальная вероятность ошибки) минимизирована, то оптимальными являются сигналы, лежащие нам этой границе. Подобные сигналы, известные под наименованием симплексных, являются эквидистантными и обладают одинаковыми коэффициентами корреляции

.

Простейшие множества симплексных сигналов

При достаточно большом числе сообщений M коэффициент корреляции симплексных сигналов стремится к нулю  и ортогональные сигналы становятся эквивалентными по помехоустойчивости симплексным. Вероятность ошибки когерентного приема  ортогональных сигналов может быть вычислена как

,

где q , как и прежде, отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра, а

стандартная функция ошибок.

            Наряду с точной формулой в инженерной и исследовательской практике применяется иное соотношение для быстрого получения оценки вероятности ошибки. При его выводе используется неравенство, называемое аддитивной границей

свидетельствующее, что вероятность объединения событий  не превышает суммы их вероятностей. На основании этого  может быть оценена сверху суммой вероятностей ошибок различения двух сигналов, приводя к границе объединения для  ортогональных сигналов

            Данная граница обладает высокой надежностью при малой вероятности ошибки , обеспечивая оценкой, практически не отличающейся от истинного значения. Кроме того, она гарантирует «запас безопасности», поскольку истинное значение вероятности ошибки всегда лежит ниже границы объединения. Это служит объяснением широкой популярности границы объединения.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.