Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

1. Классические задачи обнаружения/различения и проблема оптимизации сигналов

1.4. Обмен выигрыша от ортогонального кодирования на ширину полосы

            Оценим теперь выигрыш, сопровождающий применение ортогональных сигналов в сравнении с некодированной передачей, т.е. непосредственной передачей потока информационных битов источника. Предположим, что энергетический ресурс позволяет передавать каждый бит данных с энергией , тогда минимальная величина квадрата расстояния между сигналами, отвечающими неидентичным –битовым блокам, совпадает со значением квадрата расстояния в однобитовой противоположной паре, т.е. .

            Рассмотрим теперь другую систему, в которой все различные –битовые блоки передаются ортогональными сигналами. Ясно, что каждый такой сигнал обладает энергией , при фиксированном значении энергии на бит . Тогда квадрат расстояния между сигналами (один и тот же для любой пары сигналов, поскольку ортогональные сигналы эквидистантны) составляет величину . Следовательно, асимптотический энергетический выигрыш  ортогональных сигналов в значении минимума квадрата расстояния по сравнению с некодированной передачей составляет

.

            Термин асимптотический свидетельствует о том, что достоверность оценки достигается при вероятности ошибки, стремящейся к нулю, или, что эквивалентно, при бесконечном ОСШ. При конечной величине отношения сигнал-шум выигрыш становится меньшим, и его значение определяется точными выражениями для вероятности ошибки при некодированной и ортогональной сигнализации.

Рисунок на слайде иллюстрирует зависимость вероятности ошибки от ОСШ при кодировании 10-битовых блоков. Первая кривая (черная линия) представляет вероятность ошибки на блок при некодированной передаче, а две других – ту же вероятность при кодировании 10–битовых блоков  ортогональными сигналами, обрабатываемыми когерентно. Синяя кривая построена на основании аддитивной границы, тогда как красная линия, отвечает точной формуле для вероятности ошибки когерентного приема  ортогональных сигналов

   

  Платой за получение выигрыша  служит расширение полосы, занимаемой ортогональными сигналами. Первоначально отметим, что если все сигналы сосредоточены в пределах полосы  (т.е. отсутствуют спектральные компоненты выше ), то отсчеты, взятые с частотой , исчерпывающе определяют исходный непрерывный во времени сигнал. В свою очередь это означает, что при длительности сигнала , любой сигнал полностью описывается вектором размерности . Поскольку максимальное число ортогональных векторов в n–мерном векторном пространстве равно n, то максимальное число ортогональных сигналов в ограниченной значениями  и  частотно-временной области составит

,

иначе говоря, для расположения M сигналов длительности  требуется минимально необходимая полоса, равная .

            При достаточно большом числе M передаваемых сообщений  полная полоса, необходимая для обеспечения ортогональности сигналов, значительно больше скорости передачи R. Действительно, поскольку , то

При  отношение  и , экспоненциально возрастая с увеличением выигрыша от кодирования.

            Пример 1.4.1. Предположим, что желательно обеспечить энергетический выигрыш  (4.8 дБ) с помощью ортогонального кодирования. Асимптотически это возможно при  в обмен на увеличение полосы (по сравнению со случаем некодированной передачи) в  раз. Представим теперь ситуацию, когда, как следствие воодушевления достигнутым, планируется десятикратное (10 дБ) уменьшение излучаемой мощности, кодируя 20-битовые блоки. Это потребует расширения полосы примерно в 50 000 раз, что в большинстве случаев представляется совершенно нереальным.

            Использование достаточно большого M влечет необходимость большого частотно-временного произведения . Единственно, что это означает, так требование значительности произведения полной (т.е. занимаемой совместно всеми сигналами) полосы и длительности. Данное условие не означает, что  должно быть большим, где W и T полоса и длительность одиночного сигнала. Другими словами, ортогональные сигналы необязательно должны реализовывать принцип распределенности спектра. Два первых следующих примера ортогонального кодирования как раз и являются иллюстрацией этого.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.