Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

12. Оптимальные и асимптотически оптимальные ансамбли дискретных сигнатур

12.4. Ансамбли Камалетдинова

            Известны и другие бинарные минимаксные ансамбли, нередко отличающиеся от рассмотренных лишь тонкой структурой последовательностей, но не значениями длины N, объема K и корреляционного максимума . На этом фоне заслуживают особого интереса ансамбли, открытые Б. Ж. Камалетдиновым и существующие для длин, отличных от длин ансамблей Голда и Касами.

            Чтобы нагляднее описать идею, остановимся на несколько суженной версии конструкций Камалетдинова, что, однако, не сопряжено с какими-либо изъятиями в части охватываемых длин или достижимых параметров. В первой схеме Камалетдинова возьмем простое нечетное  вида  и расширим определение двузначного характера  из раздела 8.4 на нулевой элемент , положив  ( приведет к тому же конечному результату). Отождествим номер  символа в последовательности с элементом поля , оперируя с ним по модулю p, и образуем  p-ичных последовательностей  над  (т.е. с элементами из этого поля) по правилу:

где вся арифметика соответствует правилам,  – примитивный элемент  и . Можно заметить, что каждая последовательность образована суммированием последовательностей с взаимно простыми периодами p и p–1  и, следовательно, ее период . Отобразим теперь данные последовательности на бинарный алфавит , используя введенное расширение двузначного характера

.

Полученный таким образом ансамбль бинарных сигнатур имеет параметры

.

Длину N можно сделать достаточно большой выбором  , имея  и , что после сравнения с границей свидетельствует об оптимальности (по меньшей мере, асимптотической) ансамбля по уровню корреляционного пика.

            Пример 12.4.1. Пусть . Прямая проверка подтверждает, что элемент  примитивен в . Тогда последовательности  и  вида  и  соответственно обе имеют период . Комбинирование их по модулю 7 с последовательностью  периода 7, предписываемое (7.57), дает  семеричных последовательностей периода . Первая из них, например,  . Замена семеричных элементов их расширенными характерами согласно правилу  и  преобразует последовательности в 8 бинарных сигнатур, например,  .

            Вторая схема Камалетдинова использует как основу p-ичную  линейную последовательность , полученную децимацией с индексом  сдвигов  p-ичной m-последовательности  памяти , т.е. длины . Поскольку d делит , то последовательность  имеет период . Теперь построим  последовательностей над

и отобразим их на бинарный алфавит , используя введенное расширение двузначного характера. В результате получим ансамбль бинарных сигнатур с параметрами

.

Вновь при больших длинах  отношение  и , подтверждая оптимальность (по меньшей мере, асимптотическую) и этого ансамбля.

            Пример 12.4.1. В данном случае отсутствует запрет на  и -ичная m-последовательность  памяти  и длины  может быть сформирована с помощью примитивного полинома над  второй степени , или, эквивалентно, с помощью рекурсии . При начальном состоянии РСЛОС  последовательность . Децимация ее сдвигов с индексом , дает две последовательности периода 4:  и . После посимвольного сложения с последовательностью  получатся  последовательностей периода :  и . Последний шаг, состоящий в замене их элементов расширенными характерами , , приведет к ансамблю Камалетдинова из двух бинарных последовательностей длины :  и . Найти их АКФ и ВКФ можно вручную, убедившись в итоге в справедливости равенства .

Подпись: Ансамбль	Длина 
Объем 
Квадрат максимума корреляции  

Голд	 	 
 

Касами	 
 
 

Объединение Касами и бентпоследовательностей	 
 
 

Камалетдинов 1	 	 
 

Камалетдинов 2

            Резюмируем итоги предпринятого анализа в форме таблицы, представляющей длину (с перечислением всех длин существующих ансамблей в диапазоне ), число сигнатур и квадрат максимума корреляции бинарных сигнатурных ансамблей. Таблица весьма выразительно демонстрирует весомость конструкций Камалетдинова: в оговоренном интервале они добавляют 11 новых длин к тем восьми, для которых существуют ансамбли Голда и Касами,



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.