Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

12. Оптимальные и асимптотически оптимальные ансамбли дискретных сигнатур

            Известен единственный нетривиальный пример ансамбля сигнатур, корреляционный пик которого строго удовлетворяет границе Велча – ансамбль кубичных вычетов. Однако данный ансамбль представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку свидетельствует только об обоснованности представленной границы.

            С другой стороны, список известных асимптотически оптимальных ансамблей достаточно представителен. Среди других он включает множество кодов, которое, в отличие многофазных кодов с идеальной ПАКФ, может иметь и практическую значимость. Одной из причин этому служит тот факт, что объем алфавита этих ансамблей фиксирован и не возрастает с увеличением длины N. Так например, существуют ансамбли с трехфазным алфавитом длины , состоящие из  сигнатур и обладающие величиной корреляционного пика, стремящегося к границе Велча при

Ниже ограничимся лишь кратким обсуждением тех из них, которые либо нашли широкое практическое применение, либо особо показательны на фоне остальных.

12.1. Частотно-сдвинутые бинарные m-последовательности

            Возьмем бинарную  m-последовательность  периода  и используем ее в качестве сигнатуры для первого пользователя. Сформируем остальные  сигнатур посимвольным умножением  на дискретные гармоники частот :

.

Тогда квадрат модуля периодической ВКФ k-й и l-й последовательностей

.

Рассмотрим вначале случай , т.е. . Тогда, если , то получаем основной лепесток АКФ k-й сигнатуры, т.е. . Если же , то сумма в выражении для ВКФ есть сумма всех корней из единицы степени N и, значит, равна нулю.

            Пусть теперь . Тогда, согласно свойству сдвига и сложения m-последовательностей,  для некоторого t, и квадрат модуля ВКФ

,

что оказывается -й компонентой энергетического ДПФ-спектра последовательности . Поскольку энергетический спектр последовательности  есть ДПФ от ее периодической АКФ, а последняя равна –1 для любого ненулевого сдвига  и  при , то

.

Последняя сумма отличается от нуля и равна N только при , так что, сводя вместе все полученные результаты и переходя к нормированным корреляциям, имеем

Отсюда видно, что корреляционный пик ансамбля

,

т.е. практически совпадает с границей Велча. Таким образом, рассматриваемый ансамбль является асимптотически оптимальным и эффективным образом реализует асинхронную схему CDMA.

            Одним из его достоинств в сравнении с другими многофазными ансамблями является возможность генерирования сигнатур простым сдвигом несущей частоты. Действительно, сдвиг несущей  на  эквивалентен линейному приращению фазы между последовательными чипами на , что в точности совпадает с предписанием правила формирования ансамбля.

            Очевидно, что осуществление сдвига частоты не составляет значительной проблемы для современной электроники. Блестящим подтверждением этому служит использование указанного ансамбля в российской глобальной навигационной системе космического базирования ГЛОНАСС, в которой для организации дальномерного канала пониженной точности применяются кодовые сигнатуры данного вида длины  с длительностью чипа 2 мксек.

            Хотя известно достаточно много и других многофазных минимаксных ансамблей, бинарные  семейства традиционно считаются приоритетными в плане технологической привлекательности, поэтому остальная часть раздела посвящается некоторым важным примерам ансамблей бинарных сигнатур.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.