Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

12. Оптимальные и асимптотически оптимальные ансамбли дискретных сигнатур

12.2. Ансамбли последовательностей Голда

            Метод построения последовательностей Голда основывается на использовании бинарных  последовательностей максимальной длины. Пусть имеется бинарная –последовательность  длины . Путем децимации  с индексом  вида

построим последовательность  с таким же периодом . Децимация означает выбор каждого -го символа последовательности  и запись выбранных символов друг за другом, так что . Сформируем ансамбль из K сигнатур следующим образом

где . Выражая это словесно, строим  сигнатур посимвольным перемножением  на циклические копии , а в качестве еще двух сигнатур берем сами исходные -последовательности. В итоге имеем всего  сигнатур. На практике традиционно бинарные  -последовательности формируются сначала в алфавите , т.е. над полем  с помощью РСЛОС, с последующим отображением элементов  на вещественную пару . Поэтому удобна реализация правила конструирования ансамбля с помощью двух -разрядных РСЛОС, генерирующих  предшественники  и  последовательностей  и . Тогда, взамен умножения  на , можно просуммировать предшественники по модулю 2 с последующим отображением результата на множество : . Следующий рисунок иллюстрирует практическое воплощение конструкции Голда в описанном варианте.

            Оценка корреляционного пика ансамбля Голда приводит к следующему результату

Как видно, при любом нечетном значении памяти n ансамбли сигнатур Голда асимптотически  близки к нижней границе Сидельникова, т.е. оптимальны, тогда как при четном n, не кратном четырем, их проигрыш в уровне  по отношению к граничному составляет около 3 дБ. Следует отметить, что при  ансамбль Голда также существует с тем же значением корреляционного пика, как и при , но с числом последовательностей на одну меньше.

            Ансамбли Голда пользуются исключительной популярностью в современных CDMA системах. Достаточно сказать, что они используются в глобальной спутниковой навигационной системе GPS для разделения сигналов космических аппаратов, в 3G системе мобильной связи стандарта WCDMA для скремблирования CDMA кодов и т.п.

            Пример 12.2.1. Построим последовательности Голда длины . Ансамбль столь малой длины практически бесполезен, однако помогает в иллюстрации идеи конструкции. Начнем с бинарной  m-последовательности, впервые встретившейся в примере 8.3.1: . Индекс децимации  удовлетворяет оговоренным условиям. В результате децимации имеем последовательность . Посимвольное суммирование  и  по модулю два дает последовательность , которая после отображения на алфавит  превращается в первую последовательность Голда . Сдвиг  вправо на одну позицию и сложение по модулю 2 с  дает последовательность , которая после перехода к символам  становится второй последовательностью Голда . Еще пять последовательностей Голда получаются в результате дальнейших сдвигов , сложения по модулю 2 с  и изменения символов на . Совместно с  и , преобразованными к алфавиту , имеем  последовательностей всего. Проверка оптимальности корреляционного пика в этом простейшем случае не имеет особого смысла, поскольку заранее ясно, что при  ненормированная периодическая корреляция (кроме основного лепестка АКФ) не может превзойти значения 5.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.