Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

12. Оптимальные и асимптотически оптимальные ансамбли дискретных сигнатур

12.3. Множества Касами и их расширения

            Конструкция Касами в принципиальном плане весьма близка к описанной выше конструкции Голда. Выполним децимацию бинарной  m-последовательности  четной памяти  с индексом . Очевидно, это значение d не взаимно просто с периодом  последовательности , так что полученная последовательность  имеет период, являющийся делителем N. Можно показать, что если  инициализирована так, что , то «короткая» последовательность  окажется бинарной m-последовательностью периода .

            В данной схеме  сигнатур Касами длины N образуются посимвольным перемножением исходной «длинной» m-последовательности  с  различными циклическими копиями , а еще одной сигнатурой служит сама длинная последовательность, так что:

где . Таким образом, имеется всего  таких сигнатур периода N. Разумеется, вновь умножение  последовательностей ,  можно выполнить как сложение по модулю 2 их  предшественников , , но в отличие от ансамбля Голда для формирования короткой последовательности  требуется РСЛОС вдвое меньшей длины  (см. рисунок на следующем слайде).

            Ансамбль Касами также обладает минимаксными свойствами

.

            Сравнение двух бинарных ансамблей показывает значительный (6 дБ) выигрыш множеств Касами в уровне корреляционного пика у ансамблей Голда той же длины в обмен на значительно меньшее (в  раз) числа сигнатур K.

            Следует отметить, что для бинарных сигнатур границы корреляционного пика можно несколько уточнить, учтя, что их ненормированные корреляции принимают только целочисленные значения. В результате выясняется, что как ансамбли Голда с нечетной памятью, так и ансамбли Касами строго (а не только асимптотически) оптимальны по уровню корреляционного пика среди всех бинарных сигнатурных ансамблей.

            Пример 12.3.1. Построим ансамбль Касами длины  . Начнем с бинарной  m-последовательности  длины  на основе примитивного полинома  с начальным состоянием РСЛОС . Имеем . Децимация этой последовательности с индексом  дает m-последовательность периода три . Сумма по модулю 2 последовательности  с тремя сдвинутыми копиями  после перехода к алфавиту  образует первые три сигнатуры Касами:

,

,

.

Четвертой служит  после преобразования символов в : . Непосредственная проверка показывает, что все их ненормированные ВКФ, как и боковые лепестки ненормированных АКФ первых трех последовательностей, принимают лишь значения –5 и 3, так что .

            Сравнительно малое число сигнатур в обсуждаемом множестве придает особую важность найденному Б. Ж. Камалетдиновым элегантному методу почти двукратного расширения ансамбля Касами без ухудшения корреляционного пика. Пусть n кратно 4: , где r – целое, так что . При такой длине  в дополнение к множеству Касами существует и другой бинарный ансамбль того же объема , называемый ансамблем бент-последовательностей и обладающий тем же минимаксным свойством . В самых общих чертах построение бент-последовательностей вновь состоит в посимвольном перемножении двух исходных последовательностей: «длинной» m-последовательности периода  и некоторой специальной последовательности, базирующейся на так называемой бент-функции. Детали такой конструкции достаточно замысловаты и здесь не обсуждаются, однако принципиальным является то, что нормированная ВКФ любой бент-последовательности с любой из первых  последовательностей Касами по абсолютной величине не превосходит корреляционного пика ансамблей Касами и бент-последовательностей. В итоге можно составить ансамбль, включающий  последовательностей Касами и  бент-последовательностей и обладающий прежним значением корреляционного пика . Полученный таким образом ансамбль уникален в том смысле, что среди всех известных бинарных ансамблей с корреляционным пиком  только он содержит наибольшее число сигнатур .



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.