Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

2. Задача измерения параметров и проблема выбора сигналов

2.1. Формулировка задачи и правила оценки

            В большинстве систем необходимая информация содержится в текущем значении некоторого сигнального параметра (например, амплитуды, частоты, начальной фазы, запаздывания и др.) и для ее извлечения наблюдатель должен измерить или оценить соответствующий параметр. Предположим, что наблюдение  наряду с шумом содержит сигнал , являющийся детерминированным, за исключением неизвестного значения постоянного параметра . Наблюдатель, основываясь на анализе , должен принять решение о том, какое конкретное значение из диапазона возможных принял параметр сигнала . Естественным является вопрос: какое правило решения является оптимальным, т.е. гарантирующим наименьший ущерб от отклонений  от .

            Простейший подход к этой проблеме основывается на понимании того факта, что задача оценки или измерения неизвестного параметра не является чем-то принципиально новым по отношению к задаче различения  сигналов, отличающихся друг от друга только значением параметра :

 

   Для того, чтобы охватить подобной постановкой и случай непрерывного параметра , требуется лишь устремить число его возможных значений , т.е. различаемых сигналов, к бесконечности (вплоть до несчетной). Учитывая это, не трудно увидеть, что оптимальное оценивание параметра l заключается в минимизации расстояния  между наблюдением  и сигналом , определяемого как

.

            Это правило формирует максимально правдоподобную оценку , находя такое значение , при котором сигнал  наиболее близок к наблюдению  в смысле евклидова расстояния (см. рисунок). В геометрической интерпретации сигнал  можно отождествить с вектором , который перемещается в пространстве по некоторой траектории с изменением параметра , и в качестве оценки выбирается такое значение , которое отвечает точке этой траектории, ближайшей к вектору наблюдения :

.

            После раскрытия скобок в выражении для квадрата расстояния получаем

,

где

соответственно энергия сигнала и корреляция между наблюдением  и сигналом  как функции измеряемого параметра l. Из последнего соотношения видно, что при известном наблюдении  первое слагаемое в выражении для  фиксировано, и нахождение оптимальной оценки l может быть осуществлено (как и ранее при различении M сигналов) путем максимизации разности .

            Общепринято подразделять параметры сигнала на два класса: если энергия сигнала зависит от параметра l, то последний называется энергетическим, в противном случае l является неэнергетическим параметром. Во втором случае единственным фактором, определяющим зависимость усредненного квадрата расстояния от , является корреляция , и оптимальной оценкой служит значение l, максимизирующее :

.

            В свете физической трактовки корреляции последнее правило оценки имеет весьма прозрачную интерпретацию: оптимальная оценка неэнергетического параметра  отвечает такому значению , при котором сигнал  имеет максимальное сходство с наблюдаемым колебанием .

            Продолжая опираться на аналогию между распознаванием M сигналов одинаковой энергии и измерением неэнергетического параметра, можно предположить, что достоверность измерения будет зависеть не только от соотношения уровней сигнала и шума (ОСШ), но и от подобия сигнальных копий  при различных значениях l. Действительно, для непрерывного параметра l гораздо уместнее характеризовать качество измерения с позиции точности, т.е. дисперсией оценки, а не вероятностью ошибочного решения. В свете сказанного коэффициент корреляции между рассогласованными по l сигнальными копиями  и

,

характеризующий степень подобия, критически влияет на точность измерения неэнергетического параметра l.

    

  Коэффициент корреляции является четной функцией, достигающей максимума  при  (см. рисунок справа). Чем быстрее копия сигнала, расстроенная по , теряет свое сходство с исходной версией, тем больше острота  в нулевой точке, а значит, выше точность измерения l. Из курса математического анализа известно, что кривизна или острота функции в рассматриваемой точке определяется второй производной и для выпуклой кривой имеет отрицательный знак. На основании этого следующее выражение для дисперсии оптимальной оценки неэнергетического параметра

является вполне ожидаемым и легко объяснимым. Последний факт подсказывает общее направление синтеза сигналов в задачах оценки неэнергетического параметра . Для достижения нужной точности не за счет «грубой силы», т.е. простого увеличения энергии, следует синтезировать сигналы, у которых коэффициент корреляции  как функция  подобен «острому» импульсу.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.