Лекции по Широкополосным сигналам и системам   

2. Задача измерения параметров и проблема выбора сигналов

2.5. Автокорреляционная функция и отклик согласованного фильтра

            Теория систем с расширенным спектром в значительной степени базируется на понятии автокорреляционной функции (АКФ) сигнала, являющейся скалярным произведением двух копий одного и того же сигнала, сдвинутых по времени относительно друг друга на  секунд:

,

характеризуя степень сходства или подобия между ними. Умножение на  приводит к нормированной версии АКФ

,

являющейся попросту коэффициентом корреляции сдвинутых во времени копий сигнала  и , или в геометрической интерпретации косинусом угла между ними.

            В соответствие с общими свойствами коэффициента корреляции АКФ – четная функция , имеющая максимум в нуле

.

            Для любого радиосигнала АКФ может быть представлена как

,

где

коэффициент корреляции двух сдвинутых по времени копий комплексной огибающей  сигнала. Как можно заметить, АКФ  радиосигнала  может считаться радиосигналом, комплексная огибающая которого определяется АКФ  комплексной огибающей сигнала . В частности, действительная огибающая  АКФ  является модулем :

            Технически любая АКФ может быть получена как выходной сигнал коррелятора, причем вычисления во всем диапазоне значений  выполняются раздельно по точкам. Альтернативной структурой является согласованный фильтр (СФ), вычисляющий и воспроизводящий АКФ как выходной сигнал в реальном времени. Для фиксированного сигнала СФ максимизирует среди всех линейных систем выходное отношение сигнал-шум. Если приложить сигнал  ко входу согласованного с ним фильтра, то реакция фильтра  воспроизведет АКФ  в реальном времени с задержкой, равной длительности сигнала T:

.

            Пример 2.5.1. Прямоугольный видеоимпульс  длительности  (см. рисунок а) обладает треугольной АКФ  длительности  с максимумом в нулевой точке (рисунок b, пунктирная линия). Реакция на него согласованного фильтра  представляет собой копию АКФ с запаздыванием, равным длительности сигнала , так что максимальное напряжение на выходе фильтра наблюдается в момент окончания входного сигнала (рисунок b, сплошная линия). Для радиоимпульса  с прямоугольной огибающей АКФ оказывается треугольным радиоимпульсом (рисунок с, пунктирная линия), а сигнал на выходе согласованного фильтра – запаздывающей на  копией последнего (рисунок с, сплошная линия).

Максимум отклика фильтра, согласованного с сигналом, всегда приходится на момент окончания сигнала (по крайней мере, не ранее), поскольку этот фильтр должен обработать весь сигнал целиком. Поучительно также отметить, что для радиосигнала моменты максимумов огибающей и высокочастотного заполнения на выходе согласованного фильтра всегда совпадают, поскольку любая АКФ имеет максимум в начале координат.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.