Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

4. Полосовая модуляция и демодуляция

4.2.1. Векторное представление синусоиды

Используя известное тригонометрическое равенство, называемое теоремой Эйлера, введем комплексную запись синусоидальной несущей.

(4.4)

Возможно, кто-то чувствует себя уютнее при использовании более простой, привычной записи или . Возникает естественный вопрос: что нам дает комплексная запись? Далее будет показано (раздел 4.6), что такая форма записи облегчает описание реализации реальных модуляторов и демодуляторов. Здесь же мы рассмотрим общие преиму­щества представления несущей в комплексной форме, приведенной в формуле (4.4).

Во-первых, при комплексной записи в компактной форме, , указаны два важных компонента любой синусоидальной несущей волны, называемые взаимно ортогональными синфазной (действительной) и квадратурной (мнимой) составляющими. Во-вторых, как показано на рис. 4.2, немодулированная несущая удобно представляется в полярной системе координат в виде единичного вектора с постоянной скоростью ω0 рад/с, вращающегося против часовой стрелки. При увеличении t (от t0 до t1) мы можем изобразить пере­менные во времени проекции вращающегося вектора на синфазной (l) и квадратурной (Q) осях. Эти декартовы оси обычно называются синфазным (l channel) и квадратурным кана­лом (Q channel), а их проекции представляют взаимно ортогональные составляющие

Рис 4.2. Векторное представление синусоиды

cиг­нала, связанные с этими каналами. В-третьих, процесс модуляции несущей можно рассматривать как систематическое возмущение вращающегося вектора (и его проекций).

Рассмотрим, например, несущую, амплитудно-модулированную синусоидой с единичной амплитудой и частотой ωm, где ωm<<ω0. Переданный сигнал имеет следующий вид.

(4.5)

где Re{x} — действительная часть комплексной величины {x}. На рис. 4.3 показано, что вращающийся вектор , представленный на рис. 4.2, возмущается двумя боко­выми членами — , вращающимся против часовой стрелки, и , вращающим­ся по часовой стрелке. Боковые векторы вращаются намного медленнее, чем вектор несущей волны. В результате модулированный вращающийся вектор несущей волны растет и уменьшается согласно указаниям боковых полос, но частота его вращения остается постоянной; отсюда и название "амплитудная модуляция".

Рис 4.3. Амплитудная модуляция

Еще один пример, иллюстрирующий полезность векторного представления, — это частотная модуляция (frequency modulation — FM) несущей похожей синусоидой с частотой вращения ωm рад/с. Аналитическое представление узкополосной частотной модуляции (narrowband FM — NFM) подобно представлению амплитудной модуляции и описывается выражением:

(4.6)

где β — коэффициент модуляции [1]. На рис. 4.4 показано, что, как и в предыдущем случае, вектор несущей волны возмущается двумя боковыми векторами. Но поскольку один из них, как указано в формуле (4.6), имеет знак "минус", симметрия боковых векторов, вращающихся по часовой стрелке и против нее, отличается от имеющейся в случае амплитудной модуляции. При модуляции AM симметрия приводит к увеличе­нию и уменьшению вектора несущей волны со временем. В случае модуляции NFM симметрия боковых векторов (на 90° отличающаяся от симметрии AM) приводит к ускорению и замедлению вращения вектора согласно указаниям боковых полос, при этом амплитуда остается неизменной; отсюда название "частотная модуляция".

Рис 4.4. Узкополосная частотная модуляция

На рис. 4.5 изображены наиболее распространенные форматы цифровой модуляции: PSK, FSK, ASK и смешанная комбинация ASK и PSK (обозначаемая как ASK/PSK, или АРК). В первом столбце указаны аналитические выражения, во втором — временная диаграмма, а в третьем — векторная диаграмма. В общем случае M-арной передачи сигналов устройство обработки получает k исходных битов (или канальных битов, если используется кодирование) в каждый момент времени и ука­зывает модулятору произвести один из М = 2k возможных сигналов. Частным случаем M-уровневой модуляции является бинарная с k=1.

На рис. 4.2 несущая волна представлялась как вектор, вращающийся на плоскости со скоростью, равной частоте несущей, ω0 рад/с. На рис. 4.5 векторная схема каждой цифровой модуляций представляет совокупность информационных сигналов (векторов или точек пространства сигналов) без указания времени. Другими словами, на рис. 4.5 не отображено вращение немодулированного сигнала с постоянной скоро­стью, а представлено только взаимное расположение векторов-носителей информа­ции. Стоит обратить внимание, что в примерах на рис. 4.5 значения размера множе­ства M отличаются.

Аналитическое представление Сигнал Вектор

а) PSK

б) FSK

в) ASK

г) ASK/PSK (APK)

Рис. 4.5. Виды цифровых модуляций: a) PSK; б) FSK; в) ASK; г) ASK/PSK (АРК)



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.