Вы нашли то, что искали?
Главная Разделы

Добавить страницу в закладки ->

4.8.5. Векторное представление сигналов MFSK. Теоретические основы цифровой связи

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

4. Полосовая модуляция и демодуляция

4.8.5. Векторное представление сигналов MFSK

В разделе 4.8.3 мы исследовали рис. 4.30, что позволило получить представление о причинах роста вероятности ошибки при увеличении числа k (или М) в схеме MPSK. Полезно будет рассмотреть подобную векторную иллюстрацию для схемы MFSK, которая позволит лучше понять графики на рис. 4.28. Поскольку сигнальное пространство MFSK описывается М взаимно перпендикулярными осями, мы без труда можем проиллюстрировать случаи М = 2 и М = 3. Итак, на рис. 4.32, а видим бинарные ортогональные векторы s1, и s2. Граница областей решений разбивает сигнальное пространство на две области. На рисунке также показан вектор шума n, представляющий минимальный вектор, который может привести к принятию неправильного решения.

Рис. 4.32. Наборы сигналов MFSK для М = 2,3

На рис. 4.32, б показано трехмерное сигнальное пространство со взаимно перпендикулярными координатными осями. В этом случае плоскости решений разбивают пространство на три области. Показано, как к каждому сигнальному вектору прибавляется вектор шума n, представляющий минимальный вектор, который может привести к принятию неправильного решения. Векторы шума на рис. 4.32, б имеют тот же модуль, что и вектор шума, показанный на рис. 4.32, а. В разделе 4.4.4 мы утверждали, что при данном уровне принятой энергии расстояние между любыми двумя векторами сигналов-прототипов si и sj, М-мерного ортогонального пространства является константой. Отсюда следует, что минимальное расстояние между вектором сигнала-прототипа и любой границей решений не меняется с изменением М. В отличие от модуляции MPSK, когда добавление нового сигнала к сигнальному множеству делало сигналы более уязвимыми к меньшим векторам шума, при MFSK такого не происходит.

Дляиллюстрации этого момента можно было бы нарисовать ортогональные пространства высших размерностей, но, к сожалению, это затруднительно. Мы можем использовать только наш "мысленный взгляд", чтобы понять, что увеличение сигнального множества М — путем введения дополнительных осей, причем каждая новая ось перпендикулярна всем существующим — не приводит к его уплотнению. Следовательно, переданный сигнал, принадлежащий ортогональному набору, не становится более уязвимым к шуму при увеличении размерности. Фактически, как можно видеть из рис. 4.28, 4.28, при увеличении k вероятность появления ошибочного бита даже уменьшается.

Пониманию улучшения надежности при ортогональной передаче сигналов, показанного на рис. 4.28, способствует сравнение зависимости вероятности символьной ошибки (РЕ) от ненормированного отношения сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) с зависимостью РЕот еь/nq. На рис. 4.33 для когерентной передачи сигналов FSK представлено несколько зависимостей РЕот нормированного SNR. Видим, что ре падает с ростом М. Можем ли мы сказать, что сигнал из ортогонального набора не становится более уязвимым к данному шуму при увеличении размерности ортогонального набора? Для ортогональной передачи сигналов справедливо утверждение, что при данном SNR вектора шума фиксированного размера достаточно для перевода переданного сигнала в область ошибок; следовательно, сигналы не становятся более уязвимыми к меньшим векторам шума при увеличении М. В то же время при росте М вводится большее число окрестных областей решений; следовательно, увеличивается число возможностей для появления символьной ошибки, всего существует (М- 1) возможностей допустить ошибку. На рис. 4.33 отражено ухудшение РЕв зависимости от ненормированного SNR при увеличении М. Стоит отметить, что изучение зависимости достоверности передачи от М при фиксированном SNR не является лучшим направлением в цифровой связи. Фиксированное SNR означает фиксированный объем энергии на символ; следовательно, при увеличении М этот объем энергии необходимо распределять уже между большим числом битов, т.е. на каждый бит приходится меньше энергии. В этой связи наиболее удобным способом сравнения различных цифровых систем является использование в качестве критерия отношения сигнал/шум, нормированного на бит, или . Повышение достоверности передачи с увеличением М (см. рис. 4.28) проявляется только в том случае, если вероятность ошибки изображается как зависимость от . В этом случае при увеличении М отношение , требуемое для получения заданной вероятности ошибки, снижается при фиксированном SNR; следовательно, нам нужен новый график, подобный показанному на рис. 4.28, где ось абсцисс представляет не SNR, a . На рис. 4.34 показано, как зависимость от SNR отображается в зависимость от ; видно, как графики, демонстрирующие ухудшение РЕс увеличением М (подобно представленному на рис. 4.33), преобразуются в графики, показывающие улучшение РЕс увеличением М. Само преобразование выполняется согласно соотношению, приведенному в формуле (4.101).

Рис. 4.33. Зависимость вероятности символьной ошибки от SNR для когерентной передани сигналов FSK. (Из документа Bureau of Standards. Technical Note 167, March, 1963; перепечатано с разрешения National Bureau of Standards из Central Radio Propagation Laboratory Technical Note 167, March, 25, 1963, Fig. 1, p. 2.)

Рис. 4.34. Отображение зависимости PE от SNR в зависимость PE от для ортогональной передачи сигналов: а) ненормированная зависимость; б) нормированная зависимость

Здесь W – ширина полосы обнаружения. Поскольку

где Т – длительность символа, можем записать следующее.

(4.103)

При передаче сигналов FSK ширина полосы обнаружения W (в герцах) обычно равна скорости передачи символов 1/Т; другими словами, TW1. Следовательно,

(4.104)

На рис. 4.34 представлено отображение зависимости РЕот SNR в зависимость РЕот для M-мерной ортогональной передачи сигналов с когерентным обнаружением; на осях показано сопоставление величин разных размерностей. На рис. 4.34, а выбрана рабочая точка, соответствующая отношению сигнал/шум = 10 дБ схемы с k= 1, при данной вероятности ошибки РЕ= 10-3. В той же системе координат приведен график схемы с k= 10; рабочая точка, соответствующая той же величине РЕ= 10-3, теперь соответствует отношению сигнал/шум, равному 13 дБ (приблизительное значение, полученное из рис. 4.33). Из приведенных графиков явно видно снижение достоверности при увеличении k. Чтобы понять, как улучшается производительность, преобразуем масштаб оси абсцисс из нелинейного (отношение сигнал/шум в децибелах) в линейный (SNR как коэффициент). На рис. 4.34, а показано, как соотносятся значения SNR в децибелах (10 и 13) со значениями, представленными как коэффициент (10 и 20), для случаев k = 1 и k = 10. Далее преобразуем масштаб оси абсцисс, чтобы единицами измерения служило отношение сигнал/шум, нормированное на бит (также выраженное как коэффициент). Этому случаю на рис. 4.34, а соответствуют величины 10 и 2 для k = 1 и k = 10. Вообще, удобно не различать 1024-ричный символ или сигнал (случай k= 10) и его 10-битовое значение. При таком подходе, если символ требует 20 единиц SNR, то 10 бит, кодирующих этот символ, требуют тех же 20 единиц; другими словами, каждый бит требует двух единиц отношения сигнал/шум.

Вместо подобного сравнения, можно просто отобразить рассматриваемые случаи k= 1 и k= 10 графиками, изображенными на рис. 4.34, б и представляющими зависимости РЕот . Случай k= 1 соответствует представленному на рис. 4.34, а. Но для случая k =10 наблюдаем разительные отличия. Видим, что при k=10 передача 10-битового символа требует всего 2 единиц (3 дБ) отношения по сравнению с 10 единицами (10 дБ) для бинарного символа. Действительно, из формулы (4.104) получаем значение отношения = 20 (1/10) = 2 (или 3 дБ), т.е. имеем повышение достоверности при увеличении k. В системах цифровой связи достоверность передачи (или вероятность ошибки) всегда выражается через , поскольку такой подход позволяет выполнять сравнение производительности различных систем. Графики, приведенные на рис. 4.33 и 4.34, а, на практике встречаются крайне редко.

Хотя изображенные на рис. 4.33 зависимости и не используются на практике часто, все же с помощью этого рисунка мы можем понять, почему ортогональная передача сигналов приводит к повышению достоверности при увеличении M или k. Рассмотрим аналогию — приобретение товара, скажем прессованного творога высшего качества. Выбор качества соответствует выбору точки на оси РЕрис. 4.33, скажем 10-3. Проведем из этой точки горизонтальную линию через все кривые (от M=2 до М = 1024). В бакалейно-гастрономическом отделе мы покупаем самую маленькую упаковку прессованного творога, которая содержит 2 унции и стоит $1. Обращаясь к рис.4.33, можем сказать, что такая покупка соответствует пересечению проведенной горизонтальной линии с графиком для М =2. Смотрим вниз на соответствующее значение параметра SNR и называем пересечение с этой осью ценой $1. При следующем походе за покупками мы решаем, что в прошлый раз стоимость творога была высокой — по 50 центов за унцию. Поэтому решаем купить большую упаковку (8 унций) за $2. Обращаемся к рис.4.33 и видим, что данная покупка соответствует пересечению горизонтальной линии с кривой М = 8. Смотрим вниз и называем соответствующее значение SNR ценой $2. Замечаем, что хотя мы и купили большую емкость, заплатив за нее большую цену, все же стоимость одной унции упала (и составляет теперь всего 25 центов). Эту аналогию можно продолжать; мы можем приобретать все большие и большие упаковки, при этом их цена (SNR) будет расти, а стоимость за унцию будет падать. Вообще, это известно давно и называется эффектом масштаба: приобретение за раз большого количества товара соответствует закупкам по оптовым ценам; при этом цена единицы товара падает. Подобным образом при использовании ортогональной передачи сигналов с символами, содержащими большее число бит, нам требуется большая мощность (большее отношение SNR), а требования относительно бита () при этом снижаются.






Добавить страницу в закладки ->
© Банк лекций Siblec.ru
Электронная техника, радиотехника и связь. Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные и гуманитарные науки.

Новосибирск, Екатеринбург, Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Чебоксары.

E-mail: formyneeds@yandex.ru