Задачи. 4. Полосовая модуляция и демодуляция

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

4. Полосовая модуляция и демодуляция

Задачи

4.1. Определите точное число битовых ошибок, сделанных за сутки когерентным приемником, использующим схему BPSK. Скорость передачи данных равна 5000 бит/с. Входящими цифровыми сигналами являются: и , где А = 1 мВ, а од­носторонняя спектральная плотность мощности шума равна Вт/Гц. Считайте, что мощность сигнала и энергия, приходящаяся на бит, нормированы на нагрузку с сопротивлением 1 Ом.

4.2. Непрерывно работающая когерентная система BPSK совершает ошибки со средней часто­той 100 ошибок в сутки. Скорость передачи данных 1000 бит/с. Односторонняя спек­тральная плотность мощности равна Вт/Гц.

а) Чему равна средняя вероятность ошибки, если система является эргодической?

б) Если значение средней мощности принятого сигнала равно 10-6 Вт, будет ли ее доста­точно для поддержания вероятности ошибки, найденной в п. а?

4.3. Если основным критерием производительности системы является вероятность битовой ошибки, какую из следующих двух схем следует выбрать для канала с шумом AWGN? Приведите соответствующие вычисления.

Бинарная некогерентная ортогональная схема FSK с = 13 дБ Бинарная когерентная схема PSK с = 8 дБ

4.4. Поток битов

101010111101010100001111

передается с использованием 'модуляции DPSK. Покажите четыре различные дифферен­циально-кодированные последовательности, которые могут представлять данное сообще­ние, и объясните алгоритм генерации каждой из них.

4.5. а) Вычислите минимальную требуемую полосу для некогерентного обнаружения символов в ортогональной бинарной модуляции FSK. Сигнальный тон наивысшей частоты равен 1 МГц, а длительность символа равна 1 мс.

б) Чему равна минимальная требуемая полоса для некогерентной системы MFSK с той же продолжительностью символа?

4.6. Рассмотрим систему BPSK с равновероятными сигналами и . Будем считать, что отношение сигнал/шум в приемнике равно = 9,6 и при идеаль­ной синхронизации вероятность битовой ошибки равна 10-5. Допустим, восстановление несущей с использованием контура ФАПЧ вносит некоторую фиксированную ошибку φ, связанную с оценкой фазы, так что опорные сигналы выражаются как и . Отметим, что эффект ухудшения достоверности вследствие известного фик­сированного смещения можно вычислить, используя аналитические выражения, данные в тексте главы. В то же время, если ошибка фазы будет включать случайное смешение, вы­числение его воздействия потребует стохастического рассмотрения (см. главу 10).

а) Насколько возрастет вероятность битовой ошибки при φ = 25°?

б) Какая ошибка в определении фазы приведет к росту вероятности битовой ошибки до 10-3?

4.7. Определите вероятность появления ошибочного бита РB для когерентного обнаружения с использованием согласованного фильтра равновероятных сигналов FSK.

и

Здесь двусторонняя спектральная плотность мощности шума AWGN равна N0/2= 0,0001. Длительность символа считать равной T =0,01 с.

4.8. Определите оптимальный (дающий минимальную вероятность ошибки) порог у0 для обнаружения равновероятных сигналов и в шуме AWGN при использовании корреляционного приемника, изображенного на рис. 4.7, б. В качестве опорного возьмите сигнал .

4.9. Система обнаружения с помощью согласованного фильтра равновероятных сигналов и работает при шуме AWGN при

отношении Eb/N0 = 6,8 дБ. Считать, что

а) Найдите минимальную вероятность ошибки РB для данного отношения Eb/N0 и дан­ного множества сигналов.

б) Найдите РB, если порог принятия решения равен

в) Порог является оптимальным для определенного множества априорных веро­ятностей P(s1) и Р(s2). Найдите значения этих вероятностей (используйте раздел Б.2).

4.10. а) Опишите импульсную характеристику согласованного фильтра, используемого для обнаружения дискретного сигнала, изображенного на рис. 34.1. Какой сигнал на вы­ходе фильтра получится при подаче данного сигнала на вход? Воздействием шума можно пренебречь. Чему равно максимальное значение на выходе?

Рис. 34.1

б) В согласованном фильтре сигнал сворачивается с обращенной во времени функцией сигнала (импульсной характеристикой согласованного фильтра). Свертка еще раз об­ращает функцию; таким образом, согласованный фильтр выдает корреляцию сигнала и его копии (несмотря на то что работа согласованного фильтра описывается опера­цией свертки). Предположим, что при реализации согласованного фильтра вы слу­чайно соединили каналы так, что фильтр дает корреляцию сигнала и его обращенной во времени копии. Покажите выход как функцию времени. Чему равно максимальное значение на выходе? Отметим, что при данных условиях максимальное значение на выходе появляется в другой момент времени, чем в п. а.

в) С помощью значений на выходе неверного фильтра, описанного в п. б, по сравнению с корректными значениями из п. а, можно ли найти ключ, который поможет предска­зать, появляется ли некоторая последовательность с выхода правильного или непра­вильного фильтра?

г) Пусть к сигналу добавлен шум. Сравните отношение SNR на выходе коррелятора и устройства свертки. Пусть выход состоит исключительно из шума. Сравните выходы коррелятора и устройства свертки.

264 Глава 4. Полосовая модуляция и демодуляция

4.11. Двоичный источник с равновероятными символами управляет положением коммутатора приемника, работающего в канале с шумом AWGN (рис. 34.2) Двусторонняя спектральная плотность шума равна No/2. Пусть передаются антиподные сигналы длительностью Т се­кунд с энергией Е Дж. Системная схема синхронизации каждые Т секунд генерирует син­хронизирующие импульсы, а скорость передачи двоичного источника равна 1/T бит/с. При нормальной работе ключ находится в положении "вверх", когда двоичный нуль, и в положении "вниз", когда двоичная единица. Предположим, что ключ неисправен. С веро­ятностью р он переключается в неверном направлении на Г-секундный интервал. Нали­чие ошибки коммутации в течение каждого интервала не зависит от ошибки коммутации

в любое другое время. Считайте, что .

Рис. 34.2

а) Запишите условные вероятности .

б) Корреляционный приемник наблюдает сигнал r(t) в течение интервала (0,T). Нари­суйте блочную диаграмму оптимального приемника для минимизации вероятности битовой ошибки, если известно, что коммутатор сбоит с вероятностью р.

в) Какая система предпочтительнее

или

4.12. а) Рассмотрим систему, использующую 16-ричную модуляцию PSK с вероятностью

символьной ошибки РЕ = 10-5. При присвоении символам битового значения исполь­зуется код Грея. Чему приблизительно равна вероятность битовой ошибки?

б) Повторите п. а для 16-ричной ортогональной модуляции FSK.

4.13. Рассмотрим систему ортогональной модуляции MFSK с М = 8; при равновероятных сиг­налах , где Т= 0,2 мс. Амплитуда несущей, А, равна 1 мВ, а двусторонняя спектральная плотность шума AWGN N0/2 равна 10-11 Вт/Гц. Вы­числите вероятность битовой ошибки, РВ.

4.14. Система со скоростью передачи данных 100 Кбит/с для передачи по каналу с шумом AWGN с использованием модуляции MPSK с когерентным обнаружением требует вероят­ности битовой ошибки РB = 10-3. Ширина полосы системы равна 50 кГц. Пусть частотная передаточная функция системы имеет вид приподнятого косинуса с коэффициентом сглаживания r=1 и для присвоения символам битового значения используется код Грея.

а) Чему при заданной РB равно отношение

б) Какое требуется отношение

4.15. Система, использующая дифференциальную модуляцию MPSK и когерентное обнаруже­ние, работает в канале с шумом AWGN при Eb/N0= 10 дБ. Чему равна вероятность сим­вольной ошибки при M = 8 и равновероятных символах?

4.16. Если основным критерием производительности системы является вероятность битовой ошибки, какую из следующих схем модуляции стоит выбрать для передачи по каналу с шумом AWGN?

Когерентная 8-ричная ортогональная FSK с Eb/N0 = 8 дБ или

Когерентная 8-ричная PSK с Eb/N0 =13 дБ

Приведите вычисления. (При присвоении символам битового значения предполагается использование кода Грея.)

4.17. Пусть демодулятор/детектор схемы с модуляцией BPSK содержит ошибку синхронизации, состоящую в смещении времени рТ, где . Другими словами, обнаружение симво­лов начинается и завершается раньше (позже) на время рТ. Предполагается равновероят­ная передача сигналов и идеальная частотная и фазовая синхронизация. Отметим, что эффект ухудшения достоверности вследствие известного фиксированного смещения мож­но вычислить, используя аналитические выражения, данные в тексте главы. В то же вре­мя, если ошибка фазы будет включать случайное смешение, вычисление его воздействия потребует стохастического рассмотрения (см. главу 10).

а) Выведите выражение для вероятности битовой ошибки РB в зависимости от р.

б) Пусть в приемнике Eb/N0 = 9,6 дБ и р = 0,2; вычислите ухудшение PB в зависимости от смещения времени.

в) Если ошибку, описанную в данном примере, компенсировать не удается, насколько большее отношение Eb/N0 понадобится для восстановления PB, соответствующей p=0?

4.18. Используя все приведенные условия, повторите задачу (4.17) для когерентного обнаруже­ния потока битов в модуляции BFSK.

4.19. Пусть демодулятор/детектор схемы с модуляцией BPSK содержит ошибку синхронизации, состоящую в смещении времени рТ, где . Допустим также, что существует постоянная ошибка оценки фазы φ. Предполагается равновероятная передача сигналов и иде­альная частотная синхронизация.

а) Выведите выражение для вероятности битовой ошибки PB в зависимости от p и φ.

б) Пусть в приемнике Eb/N0 = 9,6 дБ, р = 0,2 и φ = 25°; вычислите ухудшение РB в зави­симости от смешения времени и фазы.

в) Если ошибки, описанные в данном примере, компенсировать не удается, насколько боль­шее отношение Eb/N0 понадобится для восстановления РB, соответствующей р = 0 и φ = 0°?

4.20. Чаще всего используемым методом синхронизации является корреляция с известной по­следовательностью Баркера, которая при надлежащей синхронизации дает яркий корреля­ционный пик, а при ее отсутствии — малый корреляционный выход. С помощью корот­кой последовательности Баркера 10111 (первым является левый крайний бит) спроек­тируйте дискретный согласованный фильтр, подобный приведенному на рис. 4.10, который согласовывается с данной последовательностью. Докажите его пригодность, изо­бразив как функцию времени выход в зависимости от входа, «а который подана последо­вательность 10111.

Вопросы для самопроверки

4.1. В какой точке системы определяется отношение Eb/N0 (см. раздел 4.3.2)?

4.2. Амплитудная или фазовая манипуляция представляется как совокупность точек или век­торов на плоскости. Почему подобное представление нельзя использовать для ортогональ­ной передачи сигналов, например сигналов FSK (см. раздел 4.4.4)?

4.3. Чему при передаче сигналов MFSK равно минимальное расстояние между тонами, обес­печивающее ортогональность сигналов (см. раздел 4.5.4)?

4.4. Какие преимущества при представлении синусоид дает комплексная запись (см. разде­лы 4.2.1 и 4.6)?

4.5. Схемы цифровой модуляции относятся к одному из двух классов с противоположными поведенческими характеристиками: схемы с ортогональной передачей сигналов и схемы с модуляцией фазы/амплитуды. Опишите поведение каждого класса (см. раздел 4.8.2).

4.6. Почему двоичная фазовая манипуляция (binary phase shift keying — BPSK) и четверичная фазовая манипуляция (quaternary phase shift keying — QPSK) имеют одинаковую вероят­ность битовой ошибки (см. раздел 4.8.4)?

4.7. Почему при многофазной манипуляции (multiple-phase shift keying — MPSK) эффектив­ность использования полосы повышается с увеличением размерности сигнального простран­ства (см. разделы 4.8.2 и 4.8.3)?

4.8. Почему при ортогональной передаче, например передаче сигналов MFSK, достоверность передачи повышается с увеличением размерности сигнального пространства (см. раз­дел 4.8.5)?

4.9. Применение кода Грея является одним из редких случаев в цифровой связи, где опреде­ленное преимущество может быть получено безвозмездно. Объясните, почему (см. раз­дел 4.9.4).









© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.
E-mail: formyneeds@yandex.ru