Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

6. Канальное кодирование: часть 1

6.6.2. Пример кода (n, k)

Нормальная матрица дает возможность взглянуть на возможные компромиссы между исправлением и обнаружением ошибок. Рассмотрим пример кода (n, k) и факторы, определяющие выбор конкретных значений (n, k).

  Для получения нетривиального соотношения между исправлением и обнаружением ошибок желательно, чтобы код имел возможности коррекции ошибок, по крайней мере, с t = 2. Согласно уравнению (6.44), минимальное расстояние при этом равно .

   Чтобы кодовая система была нетривиальной, желательно, чтобы количество бит данных было не менее k = 2. Следовательно, число кодовых слов . Далее будем считать наш код следующим: (п, 2).

   Нас интересует минимальное значение п, которое позволит исправлять все одно- и двухбитовые ошибки. В этом примере каждый из  n-кортежей в матрице будет табулирован. Минимальное значение n нас интересует потому, что при каждом увеличении n на единицу число n-кортежей в нормальной матрице удваивается. Это условие, разумеется, диктуется только соображениями удобства использования таблицы. Для реальных прикладных кодов минимальное значение n выбирается по разнымпричинам—эффективность использования полосы пропускания и простота системы. Если при выборе n используется предел Хэмминга, то n следует выбрать равным 7. В то же время размерность полученного кода (7,2) не соответствует указанным выше требованиям t = 2 и . Чтобы увидеть это, следует ввести другую верхнюю границу возможностей кода в коррекции t-битовых ошибок (или ) Эта граница, называемая предел Плоткина [7], определяется следующим образом.

                                                      (6.54)

Вообще, линейный код (n, k) должен удовлетворять всем перечисленным выше условиям, включая возможности коррекции ошибок (или минимальное расстояние). Для высокоскоростных кодов из удовлетворения предела Хэмминга следует удовлетворение предела Плоткина; это справедливо, например, для рассмотренного ранее кода (127,106). Для кодов с низкими скоростями передачи существует обходной путь удовлетворения названных требований [7]. Поскольку в нашем примере речь идет именно о таких кодах, важно оценить их возможности в коррекции ошибок с помощью предела Плоткина. Поскольку , из уравнения (6.53) получаем, что n должно быть равно 8; следовательно, для удовлетворения всех требований, поставленных в этом примере, минимальная размерность кода равна (8,2). Можно ли практически использовать подобный код (8,2)? Этого делать не стоит, поскольку это потребует слишком большой полосы пропускания; лучше выбрать более эффективный код. Данный код мы используем только с методической целью, единственным его преимуществом являются удобные размеры его нормальной матрицы.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.