***** Google.Поиск по сайту:


Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

6. Канальное кодирование: часть 1

6.8. Известные блочные коды

6.8.1. Коды Хэмминга

Коды Хэмминга (Hamming codes) — это простой класс блочных кодов, которые имеют следующую структуру:

, (6.71)

где т = 2,3,... . Минимальное расстояние этих кодов равно 3, поэтому, согласно уравнениям (6.44) и (6.47), они способны исправлять все однобитовые ошибки или определять все ошибочные комбинации из двух или менее ошибок в блоке. Декодирование с помощью синдромов особенно хорошо подходит к кодам Хэмминга. Фактически синдром можно превратить в двоичный указатель местоположения ошибки [5]. Хотя коды Хэмминга не являются слишком мощными, они принадлежат к очень ограниченному классу блочных кодов, называемых совершенными; их особенности описывались в разделе 6.5.4.

Если предположить, что используется жесткое декодирование, вероятность появления битовой ошибки можно записать с помощью уравнения (6.46).

Здесь р — вероятность ошибочного приема канального символа (вероятность перехода в двоичном симметричном канале). Вместо уравнения (6.72) мы можем использовать другое эквивалентное уравнение (это уравнение (Г. 16), которое выводится в приложении Г).

(6.73)

На рис. 6.21 приведен график зависимости вероятности ошибки в декодированном бите от вероятности ошибки в канальном символе, на котором сравниваются разные блочные коды. Для кодов Хэмминга на графике взяты значения т = 3, 4 и 5 или (n, k) = (7,4), (15,11), (31,26). Для описания гауссового канала с использованием когерентной демодуляции сигналов BPSK, вероятность ошибки в канальном символе можно выразить через как это было сделано в уравнении (4.79).

(6.74)

Рис. 6.21. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности ошибки в канальном символе для нескольких блочных кодов



Здесь - отношение энергии кодового символа к спектральной плотности мощности шума, a Q(X) определено в уравнении (3.43). Чтобы связать с энергией бита информации на единицу плотности спектрального шума (), используем следующее выражение.

(6.75)

Для кодов Хэмминга уравнение (6.75) принимает следующий вид.

(6.76)

Объединяя уравнения (6.73), (6.74) и (6.76), при когерентной демодуляции сигналов BPSK в гауссовом канале можно выразить как функцию . Результаты для различных типов блочных кодов отображены на рис. 6.22. Для кодов Хэмминга взяты следующие значения (n, k) = (7,4), (15,11), (31,26).

Рис. 6.22. Зависимость от при когерентной демодуляции сигналов BPSK в гауссовом канале для нескольких блочных кодов

Пример 6.11. Вероятность ошибки для модулированных и кодированных сигналов.

Кодированный сигнал с модуляцией BFSK передается по гауссовому каналу. Сигнал некогерентно обнаруживается и жестко декодируется. Найдите вероятность ошибки в декодированном бите, если кодирование осуществляется блочным кодом Хэмминга (7,4), а принятое: значение равно 20.

Решение

Сначала, используя уравнение (6.75), находим .

Затем для кодированного некогерентного сигнала BFSK мы можем связать вероятность ошибки в канальном символе с , подобно тому, как это было сделано в уравнении (4.96).

Подставляя этот результат в уравнение (6.73), получаем следующее значение вероятности ошибки в декодированном бите.




***** Яндекс.Поиск по сайту:



© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.