7.3.2.1. Двоичный симметричный канал

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

7. Канальное кодирование: часть 2

7.3.2.1. Двоичный симметричный канал

Двоичный симметричный канал (binary symmetric channel - BSC) — это дискретный канал без памяти (см. раздел 6.3.1), имеющий на входе и выходе двоичный алфавит и симметричные вероятности перехода. Как показано на рис. 7.9, его можно описать с помощью условных вероятностей.

(7.5)

Вероятность того, что выходной символ будет отличаться от входного, равна р, а вероятность того, что выходной символ будет идентичен входному, равна (1 -р). Канал BSC является примером канала с жесткой схемой принятия решений; это, в свою очередь, означает, что даже если демодулятор получил сигнал с непрерывным значением, BSC позволяет принять только какое-то одно определенное решение, так что каждый символ на выходе демодулятора, как показано на рис. 7.1, содержит одно из двух двоичных значений. Индексы величины указывают на j-й кодовый символ i-го ответвленного слова . Далее демодулятор передает последовательность Z={Z,} на декодер.

Рис. 7.9. Двоичный симметричный канал (канал с жесткой схемой принятия решений)

Пусть — это переданное по каналу BSC кодовое слово с вероятностью появления ошибочного символа р, Z - соответствующая последовательность, полученная декодером. Как отмечалось ранее, декодер, работающий по принципу максимального правдоподобия, выбирает кодовое слово , имеющее максимальное правдоподобие или его логарифм. Для BSC это эквивалентно выбору кодового слова находящегося на наименьшем расстоянии Хэмминга от Z [8]. Расстояние Хэмминга — это удобная метрика для описания расстояния или степени сходства между и Z. Из всех возможных переданных последовательностей декодер выбирает такую последовательность , для которой расстояние до Z минимально. Предположим, что каждая из последовательностей и Z имеет длину L бит и отличается на dm позиций (т.е. расстояние Хэмминга между и Z равно dm). Тогда, поскольку предполагалось, что канал не имеет памяти, вероятность того, что преобразовалось в Z, находящееся на расстоянии dm от может быть записана в следующем виде.

(7.6)

Логарифмическая функция правдоподобия будет иметь следующий вид.

(7.7)

Если вычислить эту величину для каждой возможно переданной последовательности, последнее слагаемое в уравнении будет постоянным для всех случаев. Если предположить, что , уравнение (7.7) можно записать в следующей форме.

(7.8)

Здесь А и В положительные константы. Следовательно, такой выбор кодового слова , чтобы расстояние Хэмминга до полученной последовательности Z было минимальным, соответствует максимизации метрики правдоподобия или логарифма правдоподобия. Следовательно, в канале BSC метрика логарифма правдоподобия легко заменяется расстоянием Хэмминга, а декодер, работающий по принципу максимального правдоподобия, будет выбирать на древовидной или решетчатой диаграмме путь, соответствующий минимальному расстоянию Хэмминга между последовательностью и полученной последовательностью Z.









© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.
E-mail: formyneeds@yandex.ru