Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

7. Канальное кодирование: часть 2

7.3.4. Пример сверточного декодирования Витерби

Для простоты предположим, что мы имеем дело с каналом BSC; в таком случае приемлемой мерой расстояния будет расстояние Хэмминга. Кодер для этого примера показан на рис. 7.3, а решетчатая диаграмма — на рис. 7.7. Для представления декодера, как показано на рис. 7.10, можно воспользоваться подобной решеткой. Мы начинаем в момент времени в состоянии 00 (вследствие очистки кодера между сообщениями декодер находится в начальном состоянии). Поскольку в этом примере возможны только два перехода, начинающиеся в некотором состоянии, для начала не нужно показывать все ветви. Полная решетчатая структура образуется после момента времени . Принцип работы происходящего после процедуры декодирования можно понять, изучив решетку кодера на рис. 7.7 и решетку декодера, показанную на рис. 7.10. Для решетки декодера каждую ветвь за каждый временной интервал удобно пометить расстоянием Хэмминга между полученным кодовым символом и ответвляющимся словом, соответствующим той же ветви из решетки кодера. На рис. 7.10 показана последовательность сообщений m, соответствующая последовательности кодовых слов U, и исаженная шумом последовательность Z= 11 01 01 1001 — Как показано на рис. 7.3, кодер характеризуется кодовыми словами, находящимися на ветвях решетки кодера и заведомо известными как кодеру, так и декодеру. Эти ответвляющиеся слова являются кодовыми символами, которые можно было бы ожидать на выходе кодера в результате каждого перехода между состояниями. Пометки на ветвях решетки декодера накапливаются декодером в процессе. Другими словами, когда получен кодовый символ, каждая ветвь решетки декодера помечена метрикой подобия (расстоянием Хэмминга) между полученным кодовым символом и каждым ответвляющимся словом за этот временной интервал. Из полученной последовательности Z, показанной на рис. 7.10, можно видеть, что кодовые символы, полученные в (следующий) момент времени , это 11. Чтобы пометить ветви декодера подходящей метрикой расстояния Хэмминга в (прошедший) момент времени , рассмотрим решетку кодера на рис. 7.7. Видим, что переход между состояниями 00 00 порождает на выходе ответвляющееся слово 00. Однако получено 11. Следовательно, на решетке декодера помечаем переход между состояниями 00 00 расстоянием Хэмминга между ними, а именно 2. Глядя вновь на решетку кодера, видим, что переход между состояниями 00 10 порождает на выходе ответвляющееся слово 11, точно соответствующее полученному в момент кодовому символу. Следовательно, переход на решетке декодера между состояниями 00 10 помечаем расстоянием Хэмминга 0. В итоге, метрика входящих в решетку декодера ветвей описывает разницу (расстояние) между тем, что было получено, и тем, что "могло бы быть" получено, имея ответвленные слова, связанные с теми ветвями, с которых они были переданы. По сути, эти метрики описывают величину, подобную корреляциям между полученным ответвляющимся словом и каждым из кандидатов на роль ответвляющегося слова. Таким же образом продолжаем помечать ветви решетки декодера по мере получения символов в каждый момент времени . В алгоритме декодирования эти метрики расстояния Хэмминга используются для нахождения наиболее вероятного (с минимальным расстоянием) пути через решетку.

Смысл декодирования Витерби заключается в следующем. Если любые два пути сливаются в одном состоянии, то при поиске оптимального пути один из них всегда можно исключить. Например, на рис. 7.11 показано два пути, сливающихся в момент времени в состоянии 00.

Рис. 7.10. Решетчатая диаграмма декодера (степень кодирования 1/2, K= 3)

Давайте определим суммарную метрику пути по Хэммингу для данного пути в момент времени , как сумму метрик расстояний Хэмминга ветвей, по которым проходит путь до момента ,. На рис. 7.11 верхний путь имеет метрику 4, нижний — метрику 1. Верхний путь нельзя выделить как оптимальный, поскольку нижний путь, входящий в то же состояние, имеет меньшую метрику. Это наблюдение поддерживается Марковской природой состояний кодера. Настоящее состояние завершает историю кодера в том смысле, что предыдущие состояния не могут повлиять на будущие состояния или будущие ветви на выходе.

Рис. 7.11. Метрики пути для двух сливающихся путей

В каждый момент времени в решетке существует состояний, где K это длина кодового ограничения, и в каждое состояние может войти два пути. Декодирование Витерби состоит в вычислении метрики двух путей, входящих в каждое состояние, и исключении одного из них. Такие вычисления проводятся для каждого из состояний или узлов в момент времени ; затем декодер переходит к моменту времени , и процесс повторяется. В данный момент времени метрика выжившего пути для каждого состояния обозначается как метрика для этого состояния в этот момент времени. Первые несколько шагов в нашем примере декодирования будут следующими (рис. 7.12). Предположим, что последовательность входящих данных т, кодовое слово U и Полученная последовательность Z аналогичны показанным на рис. 7.10. Допустим, что декодер знает верное исходное состояние решетки. (Это предположение не является необходимым, однако упрощает объяснения.) В момент времени получены кодовые символы 11. Из состояния 00 можно перейти только в состояние 00 или 10, как показано на рис. 7.12, а. Переход между состояниями 00 10 имеет метрику ветви 0; переход между состояниями 00 00 — метрику ветви 2. В момент времени из каждого состояния также может выходить только две ветви, как показано на рис. 7.12, б. Суммарная метрика этих ветвей обозначена как метрика состояний , , и , соответствующих конечным состояниям. В момент времени на рис. 7.12, на опять есть две ветви, выходящие из каждого состояния. В результате имеется два пути, входящих в каждое состояние, в момент времени . Один из путей, входящих в каждое состояние, может быть исключен, а точнее — это путь, имеющий большую суммарную метрику пути. Если бы метрики двух входящих путей имели одинаковое значение, то путь, который будет исключаться, выбирался бы произвольно. Выживший путь в каждом состоянии показан на рис. 7.12, г. В этой точке процесса декодирования имеется только один выживший путь, который называется полной ветвью, между моментами времени и . Следовательно, декодер теперь может решить, что между моментами и произошел переход 00 10. Поскольку переход вызывается единичным входным битом, на выходе декодера первым битом будет единица. Здесь легко можно проследить процесс декодирования выживших ветвей, поскольку ветви решетки показаны пунктирными линиями для входных нулей и сплошной линией для входных единиц. Заметим, что первый бит не декодируется, пока вычисление метрики пути не пройдет далее вглубь решетки. Для обычного декодера такая задержка декодирования может оказаться раз в пять больше длины кодового ограничения в битах.

На каждом следующем шаге процесса декодирования всегда будет два пути для каждого состояния; после сравнения метрик путей один из них будет исключен. Этот шаг в процессе декодирования показан на рис. 7.12, д. В момент снова имеется по два входных пути для каждого состояния, и один путь из каждой пары подлежит исключению. Выжившие пути на момент показаны на рис. 7.12, е. Заметим, что в нашем примере мы еще не можем принять решения относительно второго входного информационного бита, поскольку еще остается два пути, исходящих в момент из состояния в узле 10. В момент времени на рис. 7.12, ж снова можем видеть структуру сливающихся путей, а на рис. 7.12, з выжившие пути на момент . Здесь же, на рис. 7.12, з, на выходе декодера в качестве второго декодированного бита показана единица как итог единственного оставшегося пути между точками и . Аналогичным образом декодер продолжает углубляться в решетку и принимать решения, касающиеся информационных битов, устраняя все пути, кроме одного.

Отсекание (сходящихся путей) в решетке гарантирует, что у нас никогда не будет путей больше, чем состояний. В этом примере можно проверить, что после каждого отсекания (рис. 7.12, б—д) остается только 4 пути. Сравните это с попыткой применить "грубую силу" (без привлечения алгоритма Витерби) при использовании для получения последовательности принципа максимального правдоподобия. В этом случае число возможных путей (соответствующее возможным вариантам последовательности) является степенной функцией длины последовательности. Для двоичной последовательности кодовых слов с длиной ответвленных слов L имеется возможные последовательности.

Рис. 7.12. Выбор выживших путей: а) выжившие на момент ; б) выжившие на момент ; в) сравнение метрик в момент ; г) выжившие на момент ; д) сравнение метрик в момент ; e) выжившие на момент ; ж) сравнение метрик в момент ; з) выжившие на момент



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.