8.1.4.2. Описание конечного поля с помощью примитивного полинома

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

8. Канальное кодирование: часть 3

8.1.4.2. Описание конечного поля с помощью примитивного полинома

Класс полиномов, называемых примитивными полиномами, интересует нас, поскольку такие объекты определяют конечные поля GF(), которые, в свою очередь, нужны для описания кодов Рида-Соломона. Следующее утверждение является необходимым и достаточным условием примитивности полинома. Неприводимый полином f(X) порядка т будет примитивным, если наименьшим положительным целым числом п, для которого  делится на f(X), будет . Заметим, что неприводимый полином — это такой полином, который нельзя представить в виде произведения полиномов меньшего порядка; делимость А на В означает, что А делится на В с нулевым остатком и ненулевым частным. Обычно полином записывают в порядке возрастания степеней.  Иногда более удобным является обратный формат записи (например, при выполнении полиномиального деления).

Образующие элементы

Элементы поля

 

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

Рис. 8.7. Отображение элементов поля в базисные элементы GF(8) с помощью

Пример 8.1. Проверка полинома на примитивность

Основываясь на предыдущем определении примитивного полинома, укажите, какие из следующих неприводимых полиномов будут примитивными.

а)      

б)      

Решение

а) Мы можем проверить этот полином порядка т = 4, определив, будет ли он делителем  для значений п из диапазона 1 < n < 15. Нетрудно убедиться, что + 1 делится на  (см. раздел 6.8.1), и после повторения вычислений можно проверить, что при любых значениях п из диапазона 1<n<15 полином +1 не делится на . Следовательно,  является примитивным полиномом.

б)       Легко проверить, что полином является делителем . Проверив, делится ли  на , для значений n, меньших 15, можно также видеть, что указанный полином является делителем Xs+1. Следовательно, несмотря на то что полином  является неприводимым, он не будет примитивным.









© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.
E-mail: formyneeds@yandex.ru