8.1.4.3. Поле расширения GF(2<sup>3</sup>)

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

8. Канальное кодирование: часть 3

8.1.4.3. Поле расширения GF(23)

Рассмотрим пример, в котором будут задействованы примитивный полином и конечное поле, которое он определяет. В табл. 8.1 содержатся примеры некоторых примитивных полиномов. Мы выберем первый из указанных там полиномов, , который определяет конечное поле GF(), где степень полинома т=3. Таким образом, в поле, определяемом полиномом f(Х), имеется 2m = 23 = 8 элементов. Поиск корней полинома f(Х) — это поиск таких значений X, при которых . Привычные нам двоичные элементы 0 и 1 не подходят полиному  (они не являются корнями), поскольку (в рамках операции по модулю 2). Кроме того, основная теорема алгебры утверждает, что полином порядка m должен иметь в точности m корней. Следовательно, в этом примере выражение должно иметь 3 корня. Возникает определенная проблема, поскольку 3 корня не лежат в одном конечном поле, что и коэффициенты f(X). А если они находятся где-то еще, то, наверняка, в поле расширения . Пусть, , элемент поля расширения, определяется как корень полинома f(X). Следовательно, можно записать следующее.

                                               (8.16)

Поскольку при операциях над двоичным полем +1=-1, то  можно представить следующим образом.

                                                   (8.17)

Таблица 8.1. Некоторые примитивные полиномы

m

 

m

 

3

14

4

15

5

16

6

17

7

18

8

19

9

20

10

21

11

22

12

23

13

24

Таким образом,  представляется в виде взвешенной суммы всех - членов более низкого порядка. Фактически так можно представить все степени . Например, рассмотрим следующее.

                           (8.18,а)

А теперь взглянем на следующий случай.

                      (8.18,б)

Из уравнений (8.17) и (8.18), получаем следующее.

Из уравнений (8.17) и (8.18), получаем следующее.

                                               (8.18,в)

Из уравнений (8.17) и (8.18), получаем следующее.

                      (8.18,г)

А теперь из уравнения (8.18,г) вычисляем

                   (8.18,д)

Заметим, что  и, следовательно, восьмью элементами конечного поля GF() ,будут

                                   (8.19)

          Отображение элементов поля  в базисные элементы, короче описывается уравнением (8.14), можно проиллюстрировать с помощью схемы линейного регистра сдвига с обратной связью (linear feedback shift register – LFSR) (рис 8.8). Схема генерирует (при m = 3)  ненулевых элементов поля и, таким образом, обобщает процедуры, описанные в уравнениях (8.17) – (8.19). Следует отметить, что показанная на рис. 8.8. обратная связь соответствует коэффициентам полинома , как и в случае двоичных циклических кодов (см. раздел 6.7.5.). Пусть вначале схема находится в некотором состоянии, например 1 0 0; при выполнении правого сдвига на один такт можно убедиться, что каждый из элементов поля (за исключением нулевого), показанных на рис.8.7, циклически будет появляться в разрядах регистра сдвига. На данном конечном поле GF() можно определить две арифметические операции – сложение и умножение. В таб. 8.2. показана операция сложения, а в таб. 8.3. – операция умножения, но только для ненулевых элементов. Правила суммирования следуют из уравнений  (8.17) и (8.18,д); и их можно рассчитать путем сложения (по модулю 2) соответствующих коэффициентов из базисных элементов. Правила умножения, указанные в табл. 8.3, следуют из обычной процедуры, в которой произведение элементов поля вычисляются путем сложения по модулю  их показателей степеней или, для данного случая, по модулю 7.

 Таблица 8.2. Таблица сложения для GF(8) при

 

0

0

0

0

0

0

0

Таблица 8.3. Таблица умножения для GF(8) при

 









© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.
E-mail: formyneeds@yandex.ru