Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

9. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования

9.4. Теорема Шеннона-Хартли о пропускной способности канала

Шеннон [3] показал, что пропускная способность канала C с аддитивным белым гауссовым шумом (additive white Gaussian noise — AWGN) является функцией средней мощности принятого сигнала S, средней мощности шума N и ширины полосы пропускания W. Выражение для пропускной способности (теорема Шеннона-Хартли) можно записать следующим образом.

(9.2)

Если W измеряется в герцах, а логарифм берется по основанию 2, то пропускная способность будет иметь размерность бит/с. Теоретически (при использовании достаточно сложной схемы кодирования) информацию по каналу можно передавать с любой скоростью со сколь угодно малой вероятностью возникновения ошибки. Если же , то кода, на основе которого можно добиться сколь угодно малой вероятности возникновения ошибки, не существует. В работе Шеннона показано, что величины S, N и W устанавливают пределы скорости передачи, а не вероятности появления ошибки. Шеннон [4] использовал уравнение (9.2) для графического представления доступных пределов производительности прикладных систем. Этот график, показанный на рис. 9.2, представляет нормированную пропускную способность канала C/W в бит/с/Гц как функцию отношения сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) в канале. График, представленный на рис. 9.3, изображает зависимость нормированной полосы пропускания канала W/C в бит/с/Гц от отношения сигнал/шум канала. Иногда рис. 9.3 используется как иллюстрация компромисса между мощностью и полосой пропускания, присущего идеальному каналу. Однако это не совсем компромисс [5], поскольку мощность обнаруженного шума пропорциональна полосе пропускания.

(9.3)

Подставив выражение (9.3) в уравнение (9.2) и немного преобразовав последнее, получаем следующее.

(9.4)

Если битовая скорость передачи равна пропускной способности канала (R = С), то с помощью тождества (3.30) можно записать следующее.

(9.5)

Рис. 9.2. Зависимость нормированной пропускной способности канала от SNR канала

Рис. 9.3. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от SNR канала

Таким образом, уравнение (9.4) можно модифицировать следующим образом.

(9.6, а)

(9.6 б)

(9.6 в)

На рис. 9.4 представлен график зависимости W/C от , описываемой формулой (9.6, в); асимптотическое поведение этой кривой при C/W (или W/C) рассматривается в следующем разделе.

Рис. 9.4. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.