9.7.7. Система ограниченной мощности и полосы пропускания с кодированием

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

9. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования

9.7.7. Система ограниченной мощности и полосы пропускания с кодированием

В этом примере начальные параметры будут такими же, как и в предыдущем примере сис­темы ограниченной полосы пропускания (раздел 9.7.5), а именно W=4000 Гц, Pr|N0=53 дБГц и R=9600 бит/с, за одним исключением. В данном случае предполагается, что вероятность появления битовой ошибки должна быть не больше 10-9. Поскольку полоса пропускания составляет 4000 Гц, а из уравнения (9.23) находим Eb|N0=13,2 дБ, то из табл. 9.1 ясно, что данная система ограничена и по полосе пропускания и по доступной мощности (для удовлетворения требованиям к полосе пропускания можно использовать 8-уровневую схему PSK; но имеющихся 13,2 дБ отношения Eb|N0 совсем не достаточно для обеспечения требуемой вероятности появления битовой ошибки 10-9). При таких малых значениях РB, системы, изображенной на рис. 9.8, явно недостаточно, значит, надо посмотреть, какое повышение производительности сможет дать кодирование с коррекцией ошибок (в пределах доступной полосы пропускания). В общем случае можно использовать сверточный или блочный код. Для упрощения будем применять блочный код. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквенгема (Bose, Chaudhuri, Hocquenghem — ВСН, БХЧ) образуют боль­шой класс мощных циклических (блочных) кодов коррекции ошибок [14]. В данном при­мере выберем из семейства кодов один конкретный. Рассмотрим табл. 9.2, где приведены некоторые коды БХЧ, определяемые параметрами п, k и г. Здесь k — количество информа­ционных битов, которые код преобразует в более длинные блоки из п кодовых битов (их также называют канальными битами или канальными символами), a t - максимальное число неправильных канальных битов, не поддающихся исправлению, в блоке размером и бит. Степень кодирования кода определяется как отношение k/n; а величина, обратная данной, является мерой избыточности кода.

Таблица 9.2. Коды БХЧ (неполный перечень)

n

k

t

7

4

1

15

11

1

 

7

2

 

5

3

31

26

1

 

21

2

 

16

3

 

11

4

63

 

5

 

57

1

 

51

2

 

45

3

 

39

4

 

36

5

 

30

6

127

120

1

 

113

2

 

106

3

 

99

4

 

92

5

 

85

6

 

78

7

 

71

9

 

64

10

 

57

11

 

50

13

 

43

14

 

36

15

 

29

21

 

22

23

 

15

27

 

8

31

Поскольку ограничения системы аналогичны использованным в разделе 9.7.5, удовлетворить требования к полосе пропускания можно с помощью 8-уровневой схе­мы PSK. Тем не менее для снижения вероятности появления ошибки до РB 10-9 придется воспользоваться кодом коррекции ошибок. При выборе оптимального кода из табл. 9.2 нужно иметь в виду следующее.

1. Выходная вероятность появления битовой ошибки в комбинированной системе модуляции/кодирования должна удовлетворять системным требованиям досто­верности передачи.

2. Степень кодирования кода не должна требовать увеличения полосы пропускания до значения, большего доступного.

3. Код должен быть максимально простым. Вообще, чем короче код, тем проще его реализовать.

Минимальная полоса пропускания для 8-уровневой схемы PSK без кодирования составля­ет 3200 Гц (см. табл. 9.1), а доступная полоса пропускания канала — 4000 Гц. Следователь­но, полосу пропускания некодированного сигнала можно увеличить не более чем в 1,25 раза (или расширить на 25%). Таким образом, самым первым шагом в данном (упрощенном) примере выбора кода будет отбрасывание тех кодов из табл. 9.2, которые потребуют расширения полосы пропускания более чем на 25%. В результате мы получим набор кодов, "совместимых" с полосой пропускания (табл. 9.3). В этой таблице добавлены два столбца, которые обозначены как "эффективность кодирования", G, причем эта вели­чина определяется следующим образом.

            (9.32)

Таблица 9.3. Коды БЧХ, «совместимые» с полосой пропускания.

 

Эффективность кодирования, G(дБ)

n

k

t

PB=10-5

PB=10-9

31

26

1

1,8

2,0

63

57

1

1,8

2,2

 

51

2

2,6

3,2

127

120

1

1,7

2,2

 

113

2

2,6

3,4

 

106

3

3,1

4,0

Из уравнения (9.32) эффективность кодирования можно описать как меру снижения вели­чины требуемого Eb|N0 (в децибелах), которую нужно обеспечить с помощью свойств кода, касающихся обнаружения и исправления ошибок. Эффективность кодирования зависит от типа модуляции и вероятности возникновения битовых ошибок. В табл. 9.3 эффектив­ность кодирования G рассчитана для значений РB=10-5 и РB=10-9. При модуляции MPSK, G относительно независима от значения М. Следовательно, при конкретной вероятности возникновения битовой ошибки данный код будет иметь приблизительно равную эффек­тивность с любой модуляцией MPSK. Эффективность кодирования в табл. 9.3 рассчитана согласно процедуре, описываемой в разделе 9.7,7.1.

На рис. 9.9 изображена блочная диаграмма, включающая кодер и модулятор/демодулятор (модем). Если сравнить рис. 9.9 и 9.8, то видно, что введение блоков кодера/декодера влечет за собой дополнительные преобразования. На рис. 9.9 в блоке кодер/модулятор показано, как преобразовывается скорость передачи: из R (бит/с) в RC (канальных бит/с), а затем в RS (символ/с).

Рис. 9.9. Схема модема с канальным кодированием

Предполагается, что рассматриваемая система связи является системой реального вре­мени, а значит, в ней недопустимы задержки при передаче сообщений. Следовательно, скорость передачи канальных битов RC должна превышать битовую скорость передачи дан­ных R в n/k раз. Более того, каждый передаваемый символ образован (log2 M) канальными битами, так что символьная скорость передачи RS  меньше RC в (log2 M) раз. Для систем с мо­дуляцией и кодированием преобразования скорости имеют следующий вид.

                                                                  (9.33)

                                                      (9.34)

В блоке демодулятор/декодер, показанном на рис. 9.9, преобразования энергии битов данных, энергии канальных битов и энергии символов связаны теми же множителя­ми, что и преобразования скоростей, показанные в выражениях (9.33) и (9.34). По­скольку при преобразовании кодирования k информационных битов заменяются п канальными битами, отношение энергии канального бита к спектральной плотности мощности шума, Ec|N0, — это результат умножения Eb|N0 на коэффициент k/n. Кроме того, поскольку каждый передаваемый символ состоит из (log2M) канальных битов, ES|N0, необходимое в (9.25) для получения РЕ, вычисляется путем умножения Ec|N0 на коэффициент (log2M). Для систем, содержащих одновременно и модуляцию, и коди­рование, преобразования отношений энергии к спектральной плотности мощности шума будут следующими.

                                              (9.35)

                                       (9.36)

Следовательно, исходя из уравнений (9.33)—(9.36), можно обобщить выражение для Pr|N0  в уравнении (9.24).

                               (9.37)

Как и ранее, канал связи описывается величиной Eb|N0, выражаемой в децибелах. Тем не менее на входе демодулятора/детектора нет ни информационных, ни канальных би­тов. Есть только сигналы (символы передачи), которым присваивается битовое зна­чение, а следовательно, их можно описывать через пропорциональное распределение энергии по битам. Из формулы (9.37) видно, что додетекторная точка приемника — это удобная опорная точка, в которой можно соотнести эффективную энергию и эффективную скорость различных параметров. Слово "эффективный" используется по­тому, что единственные сигналы в додетекторной точке — это импульсы, которые мы называем символами. Конечно, эти символы связаны с канальными битами, которые, в свою очередь, связаны с информационными битами. Чтобы подчеркнуть тот мо­мент, что уравнение (9.37) весьма удобно при учете системных ресурсов, рассмотрим систему, в которой поток некоторого числа битов, например 273 бит, настолько часто появляется в виде отдельного блока, что этой группе присваивается собственное имя; все это идет отдельной "порцией". Инженеры делают это постоянно, например во­семь бит называют байтом. Как только мы определили новый объект, его сразу можно связать с параметрами уравнения (9.37), поскольку Pr|N0  — это теперь энергия блока на N0, умноженная на скорость передачи блока. Нечто такое будет использовано в главе 12, где подобное расширение формулы (9.37) будет применяться к элементар­ным сигналам расширенного спектра.

Поскольку значения Pr|N0  и R равны 53 дБГц и 9600 бит/с, (по аналогии с преды­дущим случаем) из уравнения (9.23) находим, что принятое Eb|N0= 13,2 дБ. Отметим, что принимаемое Eb|N0 фиксированно и не зависит от параметров кода n и k, а также от параметра модуляции M. Как было установлено при изучении табл. 9.3, для иде­ального кода, удовлетворяющего всем требованиям, можно итеративно повторить рас­четы, представленные на рис. 9.9. Полезно запрограммировать на ПК (или калькуля­торе) следующие четыре шага как функцию от п, k и t. Шаг первый начинается с под­становки уравнения (9.35) в (9.36).

Шаг 1                                             (9.38)

Шаг 2                                                         (9.39)

Выражение (9.39) — это аппроксимация (для М-арной PSK) вероятности символьной ошибки РЕ, которая уже приводилась в формуле (9.25). В каждый промежуток переда­чи символа демодулятор принимает решение относительно значения символа и подает на декодер последовательность канальных битов, представляющую этот символ. Если на демодуляторе канальные биты квантуются на два уровня, обозначаемых 1 и 0, говорят, что демодулятор принимает жесткое решение (hard decision). Если выход демодулятора квантуется более чем на два уровня — демодулятор принимает мягкое реше­ние (soft decision). В этом разделе предполагается принятие жестких решений.

Теперь, когда в системе присутствует блок декодера, вероятность появления ошиб­ки в канальном бите вне демодулятора и на декодере будем обозначать как pc а веро­ятность появления ошибки в бите вне декодера, как и ранее, будем обозначать через РВ(декодированная вероятность битовой ошибки). С помощью рсуравнение (9.27) можно переписать следующим образом.

Шаг 3                                              (9.40)

Третий шаг связывает вероятность появления ошибки в канальном бите с вероятно­стью появления ошибки в символе вне демодулятора (предполагается использование кода Грея, как это было в уравнении (9.27)).

В системах связи реального времени, использующих традиционные схемы кодиро­вания, при фиксированном значении Pr|N0  величина ES|N0 с кодированием всегда бу­дет меньше величины ES|N0 без кодирования. Поскольку при кодировании демодуля­тор принимает сигнал с меньшим ES|N0, он делает больше ошибок! Тем не менее при использовании кодирования достоверность передачи зависит от характеристик не только демодулятора, но и декодера. Следовательно, для повышения достоверности передачи при кодировании декодер должен осуществлять коррекцию ошибок так, что­бы перекрывать слабую производительность демодулятора. Итоговая декодированная вероятность битовой ошибки РВна выходе зависит от конкретного кода, декодера и вероятности появления ошибки в канальном бите рс. Эту зависимость можно аппрок­симировать следующим выражением [15].

Шаг 4                                                 (9.41)

На четвертом шаге t — это наибольшее число канальных битов, которые код способен ис­править в блоке размером п бит. Исходя из уравнений (9.38)-(9.41), определяющих четыре упомянутых выше шага, декодированную вероятность появления битовой ошибки РB  можно рассчитать как функцию п, k и t для всех кодов, представленных в табл. 9.3. Нужная позиция таблицы, удовлетворяющая установленным требованиям к вероятности возникно­вения ошибки с наибольшей возможной степенью кодирования и наименьшим п, — это код с коррекцией двойных ошибок (63, 51). Ниже приводятся соответствующие расчеты.

Шаг 1       

где М = 8, а принятое Eb|N0 = 13,2 дБ (или 20,89).

Шаг 2        

Шаг 3          

Шаг 4           

На четвертом шаге способность кода к исправлению битовых ошибок t=2. Для полу­чения РB на четвертом шаге, учитываются только первые два члена суммы в уравне­нии (9.41), так как остальные слагаемые дают пренебрежимо малый вклад при малых значениях рсили при разумно большом Eb|N0. Важно отметить, что при выполнении этих расчетов на компьютере стоит (на всякий случай) всегда учитывать все слагаемые в формуле (9.41), так как приближенное решение может сильно отличаться от пра­вильного при малых значениях Eb|N0. Теперь, когда мы выбрали код (63, 51), рассчи­таем скорость передачи данных в канальных битах Rc и скорость передачи символов RS с помощью уравнений (9.33) и (9.34), при М = 8.







© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.