Задачи. 9. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

9. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования

Задачи

9.1.    Рассмотрим телефонный канал связи с полосой пропускания 3 кГц. Пусть данный канал можно смоделировать как канал AWGN.

а)     Чему равна пропускная способность такой схемы, если SNR равно 30 дБ?

б)    Какое минимальное значение SNR требуется для получения скорости передачи данных 4800 бит/с?

в)    Повторить расчеты п. б для скорости передачи информации 19 200 бит/с.

9.2.    Рассмотрим передачу по телефонному каналу потока данных со скоростью  100 Кбит/с (при полосе пропускания 3 кГц). Можно ли получить безошибочную передачу при SNR, равном 10 дБ? Ответ обоснуйте. Если это невозможно, предложите модификацию системы, которая бы это позволила.

9.3.    Рассмотрим источник, который производит шесть сообщений с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/32. Определите среднее информационное содержание сообщения (в битах).

9.4.    Данный исходный алфавит состоит из 300 слов, из которых 15 появляются с вероятностью 0,06 каждое, а остальные 285 слов — с вероятностью 0,00035 каждое. Если в секунду передается 1000 слов, то какова средняя скорость передачи информации?

9.5.    а)    Найдите среднюю пропускную способность (в битах за секунду), которая требуется

для передачи черно-белого телевизионного сигнала высокого разрешения со скоростью 32 кадра в секунду, если каждый кадр состоит из 2106 элементов изображения и 16 градаций уровня яркости. Все элементы изображения считаются независимыми, и все уровни яркости появляются с одинаковой вероятностью.

б)    Для цветного телевидения в описанной выше системе дополнительно вводится 64 оттенка цвета. Какая дополнительная пропускная способность потребуется в цветной системе по сравнению с черно-белой?

в)    Определите требуемую пропускную способность, если  100 возможных комбинаций цвета и яркости появляются с вероятностью 0,003 каждая, 300 комбинаций — с вероятностью 0,001 и 624 комбинации — с вероятностью 0,00064.

9.6.    Докажите, что энтропия максимальна, когда все выходы источника имеют равную вероятность.

9.7.    Рассчитайте неопределенность или неоднозначность сообщения в битах на знак для текстовой передачи с использованием 7-битового кода ASCII. Считайте, что все знаки равновероятны и что вследствие шума в канале вероятность ошибки равна 0,01.

9.8.    Предполагается, что линия связи с некогерентной FSK имеет максимальную скорость передачи данных 2,4 Кбит/с без ISI в канале с номинальной полосой пропускания 2,4 кГц. Предложите способы повышения скорости передачи данных при следующих системных ограничениях.

а)     Ограничена мощность.

б)    Ограничена полоса пропускания.

в)     Одновременно ограничены и полоса пропускания, и мощность.

9.9.    В табл. 39.1 описаны четыре разные линии связи "спутник/наземный терминал". Для каждой линии связи потери в пространстве составляют 196 дБ, резерв — 0 дБ, случайные потери отсутствуют. Для каждой линии связи укажите рабочую точку на плоскости эффективности использования полосы частот, зависимости R/W от Eb /N0 и охарактеризуйте линию согласно одному из следующих описаний:  ограниченная  полоса пропускания, строго ограниченная полоса пропускания, ограниченная мощность и строго ограниченная мощность. Ответ обоснуйте.                                    

Таблица 39.1. Пропускная способность линии связи для четырех спутниковых линий связи

Спутник   

Принимающий терминал                      

Максимальная скорость

передачи данных

INTELSAT IV                       

EIRP = 22,5 дБВт                       

Полоса пропускания = 36 МГц

Большая стационарная  станция        

   диаметр антенны = 30 м

   G/T=40.7 дБ/К

165 Мбит/с

DSCS II            

EIRP = 28 дБВт

Полоса пропускания = 50 МГц 

Корабль,                                 

  диаметр антенны = 4 фута

  G/T= 10 дБ/К

100 Мбит/с

DSCSII                                       

EIRP = 28 дБВт                         

Полоса пропускания = 50 МГц

Большая стационарная станция,

     диаметр антенны = 60 футов

     G/T= 39 дБ/К

72 Мбит/с

GAPSAT/MARISAT               

EIRP = 28 дБВт                        

Полосапропускания = 500 кГц

Самолет,                          

    коэффициент усиления

    антенны = 0 дБ

    G/T=-30 дБ/К

500 Мбит/с

9.10.  Нужно выбрать модуляцию и код коррекции ошибок для системы связи реального времени, работающей с каналом AWGN при доступной полосе пропускания 2400 Гц. Eb/N0 = 14 дБ.  Требуемая  скорость  передачи   информации  и  вероятность  битовой ошибки равны 9600 бит/с и 10-5. Выбирать можно из двух типов модуляции — некогерентные ортогональные 8-FSK или   16-QAM при обнаружении с использованием согласованных фильтров. При выборе кода также возможны две альтернативы — код БХЧ (127, 92) или сверточный код со степенью кодирования 1/2, дающие эффективность кодирования 5 дБ при вероятности битовой ошибки 10-5. Предполагая идеальную фильтрацию, докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки.

9.11.  В условиях задачи 9.10 полоса пропускания расширена до 40 кГц, а доступное Eb/N0 снижено до 7,3 дБ. Выберите подходящие схемы модуляции и кодирования и докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки.

9.12.  В условиях задачи 9.10 в канале AWGN теперь возможно исчезновение сигнала, которое длится до 1000 мс. Доступная полоса пропускания равна 3400 Гц, a Eb/N0 равно 10 дБ. Помимо выбора схем модуляции и кодирования теперь требуется разработать устройство чередования (см. раздел 8.2) для борьбы с проблемой исчезновения сигнала. Возможны две альтернативы — блочное устройство чередования 1632 и сверточное 150300. Докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки, и продумайте способ борьбы с более длительными исчезновениями сигнала.

9.13.  а)    Рассмотрим систему связи реального времени, работающую с каналом AWGN, в которой применяется модуляция 8-PSK и код Грея. Выберите код коррекции ошибок, который сможет дать вероятность ошибки в декодированном бите не больше 10-7, если принимаемое Pr/N0 равно 70 дБГц, а скорость передачи информации равна 1 Мбит/с. Выбирать можно из следующих кодов: расширенный код Голея (24, 12), код БХЧ (127, 64) или код БХЧ (127, 36). Передаточные функции этих кодов показаны на рис. 6.21. Для облегчения процесса выбора считайте, что РB = 10-7, а передаточная функция пересекается с осью абсцисс в таких точках: для кода (24, 12)— в точке 310-3, для кода (127,64)— в точке 1,310-2, для кода (127, 36) — в точке 310-2.

б)    С помощью внешнего вида передаточной функции кода можно интуитивно представить, какой код является лучшим при установленных технических требованиях. Совпадает ли ваш конечный выбор с первоначальной гипотезой? Не удивил ли вас ответ на п. а? Объясните полученные результаты в контексте двух механизмов, которые проявляются при использовании кодирования с коррекцией ошибок в системе связи реального времени.

в)     Какую эффективность кодирования в децибелах обеспечивает код, выбранный вами в п. а?

9.14.  Рассмотрим  спутниковую  систему связи  реального  времени,  работающую с  каналом AWGN (возмущаемую периодическим исчезновением сигнала). Вся линия связи описывается следующими требованиями для мобильного передатчика и спутникового приемника на низкой околоземной орбите.

Скорость передачи данных R = 9600 бит/с Доступная полоса пропускания W= 3000 Гц

Энергетический резерв линии связи М = 0 дБ (см. раздел 5.6)

Несущая частота fc= 1,5 ГГц

EIRP = 6 дБ

Расстояние между передатчиком и приемником d= 1000 км

Добротность спутникового приемника С/Т= 30 дБ[i]

Температура принимающей антенны  = 290 К

Потери в линии связи между принимающей антенной и приемником L = 3 дБ Коэффициент шума приемника F= 10 дБ

Потери вследствие замирания Lf= 20 дБ

Прочие потери L0 = 6 дБ

Нужно так выбрать одну из двух схем модуляции (MPSK с применением кода Грея или некогерентную ортогональную MFSK), чтобы не было превышения имеющейся полосы пропускания и сохранялась мощность. Для кодирования с коррекцией ошибок выбирается один из кодов БХЧ (127, k), представленных в табл. 9.2, обеспечивающий наибольшую избыточность и при этом удовлетворяющий ограничениям на полосу пропускания. Рассчитайте вероятность появления ошибки в декодированном бите. Какая эффективность кодирования (если таковая имеется) соответствует предложенному выбору. Подсказка: параметры стоит вычислять в следующем порядке: Eb/N0, Ex/N0, PE(M), pc, РB. При использовании уравнения (9.41) для расчета декодированной вероятности появления битовой ошибки низкое значение Eb/N0  вынуждает учитывать большое количество слагаемых в сумме. Следовательно, очень кстати будет помощь компьютера.

9.15.  Требуется, чтобы система связи реального времени поддерживала скорость передачи данных 9600 бит/с при вероятности появления битовой ошибки, не превышающей 10-5 с полосой пропускания 2700 Гц. Pr/N0 до детектирования составляет 54,8 дБГц. Выберите одну из двух схем модуляции (MPSK с применением кода Грея или некогерентную ортогональную MFSK) так, чтобы не было превышения имеющейся полосы пропускания и сохранялась мощность. Если необходимо применить кодирование с коррекцией ошибок, выбирайте самый простой (самый короткий) код из представленных в табл. 9.3, обеспечивающий    требуемую    достоверность    передачи    без    превышений необходимой    полосы пропускания. Докажите, что ваш выбор удовлетворяет системным требованиям.

9.16.   а)   При фиксированной вероятности появления ошибок покажите, что связь между размером

алфавита М и требуемой средней мощностью для MPSK и QAM можно представить следующим образом. 

                                          

б)    Обсудите преимущества одного типа передачи сигналов перед другим.

9.17.  Рассмотрим телефонный модем, работающий со скоростью 28,8 Кбит/с и использующий решетчатое кодирование QAM.

а)    Рассчитайте эффективность использования полосы частот, считая, что полоса пропускания канала равна 3429 Гц.

б) Предполагая, что Eb/N0=10 дБ и в канале присутствует шум AWGN, рассчитайте теоретическую доступную пропускную способность в полосе частот 3429 Гц.

в)    Какое значение Eb/N0  необходимо для получения в полосе 3429 Гц скорости передачи 28,8 Кбит/с?                          

9.18.  На рис. 9.17 показано несколько совокупностей 16-ричных символов.

а)    Для кольцевой совокупности (5, 11) рассчитайте минимальные радиальные расстояния r1 и r2, если минимальное расстояние между символами должно быть 1.

б)    Рассчитайте среднюю мощность сигнала для кольцевой совокупности (5, 11) и сравните ее со средней мощностью квадратной совокупности 44 (М = 16) (при том же минимальном расстоянии между символами).

в)     Почему квадратный набор может оказаться/более практичным?

9.19.  Рассмотрим систему решетчатого кодирований со степенью 2/3 из раздела 9.10.5, которая используется в двоичном симметричном канале (binary symmetric channel — BSC). Исходное состояние кодера предполагается равным 00. На выходе BSC принимается последовательность Z = (111001101011 остальные все 0).

а)     Найдите максимально правдоподобный путь по решетчатой диаграмме и определите первые 6 декодированных информационных битов. Если появляется петля между двумя сливающимися путями, выбирайте верхнюю ветвь, входящую в определенное состояние.

б)    Определите, были ли изменены в канале какие-либо биты Z, и если это так, определите, какие именно.

в)     Объясните, как вы решите задачу, если вместо канала BSC дан гауссов канал.

9.20.  Найдите асимптотическую эффективность кодирования для схемы решетчатого кодирования (trellis-coded modulation — ТСМ) с 4 состояниями. Степень кодирования 2/3 получается с помощью кодера, конфигурация которого показана на рис. 9.29, где 50% информационных бит поданы на вход сверточного кодера со степенью кодирования 1/2, а оставшиеся 50% — непосредственно на выход. Кодовая модуляция — 8-РАМ, как показано на верхней части рис. 9.31. Эталонным служит набор сигналов 4-РАМ с амплитудами -16, -1, +1, +16. Не кажется ли вам, что полученный ответ не согласуется с теоремой Шеннона, которая предсказывает предел эффективности кодирования порядка 11—12 дБ? Будет ли кто-либо использовать эталонный набор, который был предложен здесь? Можно заметить, что эффективность кодирования для комбинированной схемы модуляции/кодирования слегка отличается от той, которая имеется в случае одного лишь кодирования. Объясните ваши результаты в этом контексте.

9.21.  Найдите асимптотическую эффективность кодирования для схемы решетчатого кодирования с 8 состояниями. Кодовая модуляция — 8-PSK, а некодированный эталон — 4-PSK. Решетчатая структура между моментами tk и tk+1 строится следующим образом: все состояния (от верхнего до нижнего) произвольно обозначаются от 1 до 8. Затем состояния 1, 3, 5 и 7 в момент tk соединяются с состояниями 1—4 в момент tk+1. Аналогично состояния 2, 4, 6 и 8 в момент tk соединяются с состояниями 5—8 в момент tk+1. Нарисуйте три секции (три интервала времени) решетчатой структуры. Сопоставьте ветви и сигналы и найдите кратчайший ошибочный путь.

Вопросы

9.1.    Почему связь ширины полосы с эффективностью ее использования одинакова для ортогональных двоичной и четверичной частотных манипуляций (см. раздел 9.5.1)?

9.2.    В схеме модуляции MPSK, Эффективность использования полосы частот растет при увеличении размерности, а в схеме MFSK, наоборот, снижается. Объясните, почему так происходит (см. разделы 9.7.2 и 9.7.3).

9.3.    Опишите преобразования скрытой энергии и скоростей при преобразовании информационных битов в канальные биты, затем — в символы и элементарные сигналы (см. раздел 9.7.7).

9.4.    Резкое увеличение боковых максимумов в спектре MSK на рис. 9.15 показывает, почему схема MSK считается более спектрально эффективной, чем QPSK. Как в таком случае можно объяснить тот факт, что спектр QPSK имеет более узкий основной максимум, чем спектр MSK (см. раздел 9.8.2)?

9.5.    В главе 4 было сказано, что двоичная фазовая манипуляция (binary phase shift keying — BPSK) и квадратичная фазовая манипуляция (quaternary phase shift keying — QPSK) имеют одинаковые  соотношения для  вероятности  возникновения  битовой  ошибки  (см.  раздел 4.8.4). Можно ли утверждать то же самое для М-арной амплитудно-импульсной модуляции (M-ary pulse amplitude modulation — М-РАМ) и -арной квадратурной амплитудной модуляции (-QAM), т.е. будут ли эти схемы иметь одинаковую вероятность возникновения битовой ошибки (см раздел 9.8.3.1)

9.6.    Хотя схемы решетчатого кодирования (trellis-coded modulation — ТСМ) не требуют дополнительной полосы пропускания или мощности, в них все равно присутствует некоторый компромисс. За счет чего достигается эффективное кодирование в ТСМ (см. раздел 9.10)?

9.7.    В чем смысл состояния в системе с конечным числом состояний (см. раздел 9.10)?

9.8.    Какой избыточности сигнала при применении схемы ТСМ достаточно для получения выгод кодирования (снижение вероятности появления ошибки или повышение пропускной способности) (см. раздел 9.10.1.1)?

9.9.    Для схем ТСМ дайте определение понятию асимптотическая эффективность кодирования, и из этого определения объясните, к чему нужно стремиться при построении кода ТСМ (см. раздел 9.10.3.2).

9.10.  Когда на решетчатой диаграмме ТСМ нужны параллельные пути для удовлетворения правил разбиения Унгербоека? Чем грозит нарушение этих правил (см. раздел 9.10.4.1)?









© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.
E-mail: formyneeds@yandex.ru