***** Google.Поиск по сайту:


Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

1. Сигналы и спектры

1.3. Спектральная плотность

Спектральная плотность (spectral density) характеристик сигнала - это распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот. Особую важность это понятие приобретает при рассмотрении фильтрации в системах связи. Мы должны иметь возможность оценить сигнал и шум на выходе фильтра. При проведении подобной оценки используется спектральная плотность энергии (energy spectral density - ESD) или спектральная плотность мощности (power spectral density - PSD).

1.3.1. Спектральная плотность энергии

Общая энергия действительного энергетического сигнала , определенного в интервале  описывается уравнением (1.7). Используя теорему Парсеваля [1], мы можем связать энергию такого сигнала, выраженную во временной области, с энергией, выраженной в частотной области:

,                                                                            (1.13)

где  - Фурье-образ непериодического сигнала . (Краткие сведения об анализе Фурье можно найти в приложении А.) Обозначим через  прямоугольный амплитудный спектр, определенный как

                                                                                             (1.14)

Величина  является спектральной плотностью энергии (ESD) сигнала . Следовательно, из уравнения (1.13) можно выразить общую энергию  путем интегрирования спектральной плотности по частоте.

                                                                                              (1.15)

Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна площади под  на графике в частотной области. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигнала , величина  представляет собой четную функцию частоты. Следовательно, спектральная плотность энергии симметрична по частоте относительно начала координат, а общую энергию сигнала  можно выразить следующим образом.

                                                                                            (1.16)

1.3.2. Спектральная плотность мощности

Средняя мощность  действительного сигнала в периодическом представлении  определяется уравнением (1.8). Если  - это периодический сигнал с периодом , он классифицируется как сигнал в периодическом представлении. Выражение для средней мощности периодического сигнала дается формулой (1.6), где среднее по времени берется за один период .

                                                                                           (1.17,а)

Теорема Парсеваля для действительного периодического сигнала [1] имеет вид

,                                                                              (1.17,б)

где члены  являются комплексными коэффициентами ряда Фурье для периодического сигнала (см. приложение А).

Чтобы использовать уравнение (1.17,6), необходимо знать только значение коэффициентов . Спектральная плотность мощности (PSD)   периодического сигнала , которая является действительной, четной и неотрицательной функцией частоты и дает распределение мощности сигнала  по диапазону частот, определяется следующим образом.

                                                                               (1.18)

Уравнение (1.18) определяет спектральную плотность мощности периодического сигнала  как последовательность взвешенных дельта-функций. Следовательно, PSD периодического сигнала является дискретной функцией частоты. Используя PSD, определенную в уравнении (1.18), можно записать среднюю нормированную мощность действительного сигнала.

                                                                           (1.19)

Уравнение (1.18) описывает PSD только периодических сигналов. Если  - непериодический сигнал, он не может быть выражен через ряд Фурье; если он является непериодическим сигналом в периодическом представлении (имеющим бесконечную энергию), он может не иметь Фурье-образа. Впрочем, мы по-прежнему можем выразить спектральную плотность мощности таких сигналов в пределе. Если сформировать усеченную версию  непериодического сигнала в периодическом представлении , взяв для этого только его значения из интервала (), то  будет иметь конечную энергию и соответствующий Фурье-образ . Можно показать [2], что спектральная плотность мощности непериодического сигнала  определяется как предел.

                                                                                  (1.20)

Пример 1.1. Средняя нормированная мощность

а) Найдите среднюю нормированную мощность сигнала , используя усреднение по времени.

б) Выполните п. а путем суммирования спектральных коэффициентов.
Решение

а)  Используя уравнение (1.17,а), имеем следующее.

б) Используя уравнения (1.18) и (1.19), получаем следующее.

 (см. приложение А)




***** Яндекс.Поиск по сайту:



© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.