Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

1. Сигналы и спектры

1.5.  Случайные сигналы

Основной задачей системы связи является передача информации по каналу связи. Все полезные сигналы сообщений появляются случайным образом, т.е. приемник не знает заранее, какой из возможных символов сообщений будет передан. Кроме того, вследствие различных электрических процессов возникают шумы, которые сопровождают информационные сигналы. Следовательно, нам нужен эффективный способ описания случайных сигналов.

1.5.1.  Случайные переменные

Пусть случайная переменная Х(А) представляет функциональное отношение между случайным событием А и действительным числом. Для удобства записи обозначим случайную переменную через X, а ее функциональную зависимость от А будем считать явной. Случайная переменная может быть дискретной или непрерывной. Распределение  случайной переменной X находится выражением:

,                                                                                          (1.24)

где  - вероятность того, что значение принимаемой; случайной переменной X меньше действительного числа х или равно ему. Функция распределения  имеет следующие свойства.

          1.

          2.  если

                3.

          4.

Еще одной полезной функцией, связанной со случайной переменной X, является плотность вероятности, которая записывается следующим образом.

                                                                                             (1.25,а)

Как и в случае функции распределения, плотность вероятности - это функция действительного числа х. Название «функция плотности» появилось вследствие того, что вероятность события  равна следующему.

                                 (1.25,б)

Используя уравнение (1.25,6), можно приближенно записать вероятность того, что случайная переменная X имеет значение, принадлежащее очень малому промежутку между  и .

                                                                                                                             (1.25,в)

Таким образом, в пределе при , стремящемся к нулю, мы можем записать следующее.

                                                                                                                                                  (1.25,г)

Плотность вероятности имеет следующие свойства.

          1.

                2. .

Таким образом, плотность вероятности всегда неотрицательна и имеет единичную площадь. В тексте книги мы будем использовать запись  для обозначения плотности вероятности для непрерывной случайной переменной. Для удобства записи мы часто будем опускать индекс X и писать просто . Если случайная переменная X может принимать только дискретные значения, для обозначения плотности вероятности мы будем использовать запись .

1.5.1.1. Среднее по ансамблю

Среднее значение (mean value) , или математическое ожидание (expected value), случайной переменной X определяется выражением

,                                                                                 (1.26)

где  именуется оператором математического ожидания (expected value operator). Моментом n-го порядка распределения вероятностей случайной переменной X называется следующая величина.

                                                                                                (1.27)

Для анализа систем связи важны первые два момента переменной X. Так, при n=1 уравнение (1.27) дает момент , рассмотренный выше, а при n= 1 - среднеквадратическое значение X.

                                                                                     (1.28)

Можно также определить центральные моменты, представляющие собой моменты разности X и . Центральный момент второго порядка (называемый также дисперсией) равен следующему.

                                                       (1.29)

Дисперсия X также записывается как , а квадратный корень из этой величины, , называется среднеквадратическим отклонением X. Дисперсия - это мера «разброса» случайной переменной X. Задание дисперсии случайной переменной ограничивает ширину функции плотности вероятности. Дисперсия и среднеквадратическое значение связаны следующим соотношением.

Таким образом, дисперсия равна разности среднеквадратического значения и квадрата среднего значения.



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.