Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

1. Сигналы и спектры

1.5.2.  Случайные процессы

Случайный процесс  можно рассматривать как функцию двух переменных: события А и времени. На рис. 1.5 представлен пример случайного процесса. Показаны N выборочных функций времени . Каждую из выборочных функций можно рассматривать как выход отдельного генератора шума. Для каждого события  имеем единственную функцию времени  (т.е. выборочную функцию). Совокупность всех выборочных функций называется ансамблем. В любой определенный момент времени ,  - это случайная переменная , значение которой зависит от события. И последнее, для конкретного события  и для конкретного момента времени ,  - это обычное число. Для удобства записи будем обозначать случайный процесс через X(t), а функциональную зависимость от А будем считать явной.

Рис.1.5. Случайный процесс шума

1.5.2.1.      Статистическое среднее случайного процесса

Поскольку значение случайного процесса в каждый последующий момент времени неизвестно, случайный процесс, функции распределения которого непрерывны, можно описать статистически через плотность вероятности. Вообще, в различные моменты времени эта функция для случайного процесса будет иметь разный вид. В большинстве случаев эмпирически определить распределение вероятностей случайного процесса нереально. В то же время для нужд систем связи часто достаточно частичного описания, включающего среднее и функцию автокорреляции. Итак, определим среднее случайного процесса X(t) как

,                                                                      (1.30)

где  - случайная переменная, полученная при рассмотрении случайного процесса в момент времени , a  - плотность вероятности   (плотность по ансамблю событий в момент времени ).

Определим автокорреляционную функцию случайного процесса X(t) как функцию двух переменных  и

,                                                                               (1.31)

где  и  - случайные переменные, получаемые при рассмотрении X(t) в моменты времени  и  соответственно. Автокорреляционная функция - это мера связи двух временных выборок одного случайного процесса.

1.5.2.2.      Стационарность

Случайный процесс X(t) называется стационарным в строгом смысле, если ни на одну из его статистик не влияет перенос начала отсчета времени. Случайный процесс именуется стационарным в широком смысле, если две его статистики, среднее и автокорреляционная функция, не меняются при переносе начала отсчета времени. Таким образом, процесс является стационарным в широком смысле, если

                                                                                      (1.32)

и

                                                                                     (1.33)

Стационарность в строгом смысле подразумевает стационарность в широком смысле, но не наоборот. Большинство полезных результатов теории связи основывается на предположении, что случайные информационные сигналы и шум являются стационарными в широком смысле. С практической точки зрения случайный процесс не обязательно всегда должен быть стационарным, достаточно стационарности в некотором наблюдаемом интервале времени, представляющем практический интерес.

Для стационарных процессов автокорреляционная функция в уравнении (1.33) зависит не от времени, а только от разности . Иными словами, все пары значений X(t) в моменты времени, разделенные промежутком , имеют одинаковое корреляционное значение. Следовательно, для стационарных систем функцию  можно записывать просто как .

1.5.2.3.      Автокорреляция случайных процессов, стационарных в широком смысле

Как дисперсия предлагает меру случайности для случайных переменных, так и автокорреляционная функция предлагает подобную меру для случайных процессов. Для процессов, стационарных в широком смысле, автокорреляционная функция зависит только от разности времен .

 для                                                           (1.34)

Для стационарного в широком смысле процесса с нулевым средним, функция  показывает, насколько статистически коррелируют случайные величины процесса, разделенные  секундами. Другими словами,  дает информацию о частотной характеристике, связанной со случайным процессом. Если  меняется медленно по мере увеличения  от нуля до некоторого значения, это показывает, что в среднем выборочные значения X(t), взятые в моменты времени  и , практически равны. Следовательно, мы вправе ожидать, что в частотном представлении X(t) будут преобладать низкие частоты. С другой стороны, если  быстро уменьшается по мере увеличения , стоит ожидать, что X(t) будет быстро меняться по времени и, следовательно, будет включать преимущественно высокие частоты.

Автокорреляционная функция стационарного в широком смысле процесса, принимающего действительные значения, имеет следующие свойства.

1.                                      симметрия по  относительно нуля

2.  для всех        максимальное значение в нуле

3.                                    автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга

4.                                   значение в нуле равно средней мощности  сигнала



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.