Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

1. Сигналы и спектры

1.5.4.  Спектральная плотность мощности и автокорреляция случайного процесса

Случайный процесс X(t) можно отнести к периодическому сигналу, имеющему такую спектральную плотность мощности , как указано в уравнении (1.20). Функция  особенно полезна в системах связи, поскольку она описывает распределение мощности сигнала по диапазону частот. Спектральная плотность мощности позволяет оценить мощность сигнала, который будет передаваться через сеть с известными частотными характеристиками. Основные свойства функций спектральной плотности мощности можно сформулировать следующим образом.

1.             всегда принимает действительные значения

2.            для X(t),  принимающих действительные значения

3.             автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга

4.             связь между   средней   нормированной мощностью и спектральной плотностью мощности

На рис. 1.6 приведено визуальное представление автокорреляционной функции и функции спектральной плотности мощности. Что означает термин «корреляция»? Когда мы интересуемся корреляцией двух явлений, спрашиваем, насколько близко они соотносятся по поведению или виду и насколько они совпадают. В математике автокорреляционная функция сигнала (во временной области) описывает соответствие сигнала самому себе, смещенному на некоторый промежуток времени. Точная копия считается созданной и локализированной на минус бесконечности. Затем мы последовательно перемещаем копию в положительном направлении временной оси и задаем вопрос, насколько они (исходная версия и копия) соответствуют друг другу. Затем мы перемещаем копию еще на один шаг в положительном направлении и задаем вопрос, насколько они совпадают теперь, и т.д. Корреляция между двумя сигналами изображается как функция времени, обозначаемого ; при этом время  можно рассматривать как параметр сканирования.

На рис. 1.6, а-г изображена описанная выше ситуация в некоторые моменты времени. Рис. 1.6, а иллюстрирует отдельный сигнал стационарного в широком смысле случайного процесса X(t). Сигнал представляет собой случайную двоичную последовательность с положительными и отрицательными (биполярными) импульсами единичной амплитуды. Положительные и отрицательные импульсы появляются с равной вероятностью. Длительность каждого импульса (двоичной цифры) равна Т секунд, а среднее, или величина постоянной составляющей случайной последовательности, равно нулю. На рис. 1.6, б показана та же последовательность, смещенная во времени на  секунд. Согласно принятым обозначениям, эта последовательность обозначается . Предположим, что процесс X(t) является эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, поэтому для нахождения  мы можем использовать усреднение по времени вместо усреднения по ансамблю. Значение  получается при перемножении двух последовательностей X(t) и  с последующим нахождением среднего с помощью уравнения (1.36), которое справедливо для эргодических процессов только в пределе. Впрочем, интегрирование по целому числу периодов может дать нам некоторую оценку . Отметим, что  может быть получено при смещении X(t) как в положительном, так и отрицательном направлении. Подобный случай иллюстрирует рис. 1.6, в, на котором использована исходная выборочная последовательность (рис. 1.6, а) и ее смещенная копия (рис. 1.6, б). Заштрихованные области под кривой произведения  вносят положительный вклад в произведение, а серые области - отрицательный. Интегрирование  по времени передачи импульсов дает точку   на кривой . Последовательность может далее смещаться на  и каждое такое смещение будет давать точку на общей автокорреляционной функции , показанной на рис. 1.6, г. Иными словами, каждой случайной последовательности биполярных импульсов соответствует автокорреляционная точка на общей кривой, приведенной на рис. 1.6, г. Максимум функции находится в точке  (наилучшее соответствие имеет место при , равном нулю, поскольку для всех ), и функция спадает по мере роста . На рис. 1.6, г показаны точки, соответствующие  и .

Аналитическое выражение для автокорреляционной функции , приведенной на рис. 1.6, г, имеет следующий вид [1].

                                                                                (1.37)

Отметим, что автокорреляционная функция дает нам информацию о частоте; она сообщает нам кое-что о полосе сигнала. В то же время автокорреляция - это временная функция; в формуле (1.37) отсутствуют члены, зависящие от частоты. Так как же она дает нам информацию о полосе сигнала?

Рис.1.6. Автокорреляция и спектральная плотность мощности

Рис.1.6. Автокорреляция и спектральная плотность мощности (окончание)

Предположим, что сигнал перемещается очень медленно (сигнал имеет малую ширину полосы). Если мы будем смещать копию сигнала вдоль оси , задавая на каждом этапе смещения вопрос, насколько соответствуют друг другу копия и оригинал, соответствие достаточно долго будет довольно сильным. Другими словами, треугольная автокорреляционная функция (рис. 1.6, г и формула 1.37) будет медленно спадать с ростом . Предположим теперь, что сигнал меняется достаточно быстро (т.е. имеем большую полосу). В этом случае даже небольшое изменение  приведет к тому, что корреляция будет нулевой и автокорреляционная функция будет иметь очень узкую форму. Следовательно, сравнение автокорреляционных функций по форме дает нам некоторую информацию о ширине полосы сигнала. Функция спадает постепенно? В этом случае имеем сигнал с узкой полосой. Форма функции напоминает узкий пик? Тогда сигнал имеет широкую полосу.

Автокорреляционная функция позволяет явно выражать спектральную плотность мощности случайного сигнала. Поскольку спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция являются Фурье-образами друг друга, спектральную плотность мощности, , случайной последовательности биполярных импульсов можно найти как Фурье-преобразование функции , аналитическое выражение которой дано в уравнении (1.37). Для этого можно использовать табл. А.1. Заметим, что

                                                                     (1.38)

где

                                                                                                (1.39)

Общий вид функции  показан на рис. 1.6, д.

Отметим, что площадь под кривой спектральной плотности мощности представляет собой среднюю мощность сигнала. Одной из удобных мер ширины полосы является ширина основного спектрального лепестка (см. раздел 1.7.2). На рис. 1.6, д показано, что ширина полосы сигнала связана с обратной длительностью символа или шириной импульса. Рис. 1.6, е-к формально повторяют рис. 1.6, а-д, за исключением того, что на последующих рисунках длительность импульса меньше. Отметим, что для более коротких импульсов функция .уже (рис. 1.6, и), чем для более длительных (рис. 1.6, г). На рис. 1.6, и ; другими словами, в случае меньшей длительности импульса смещения на ,  достаточно для создания нулевого соответствия или для полной потери корреляции между смещенными последовательностями. Поскольку на рис. 1.6, е длительность импульса Т меньше (выше скорость передачи импульса), чем на рис. 1.6, а, занятость полосы на рис. 1.6, к больше занятости полосы для более низкой частоты импульсов, показанной на рис. 1.6, д.



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.