Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

1. Сигналы и спектры

1.6.3.1. Идеальный фильтр

Построить идеальную сеть, описываемую уравнением (1.56), нереально. Проблема заключается в том, что в уравнении (1.56) предполагается бесконечная ширина полосы, причем ширина полосы системы определяется интервалом положительных частот, в которых модуль  имеет заданную величину. (Вообще, существует несколько мер ширины полосы; самые распространенные перечислены в разделе 1.7.) В качестве приближения к идеальной сети с бесконечной шириной полосы выберем усеченную сеть, без искажения пропускающую все гармоники с частотами между  и  где  - нижняя частота среза, а  - верхняя, как показано на рис. 1.11. Все подобные сети называются идеальными фильтрами. Предполагается, что вне диапазона , который называется полосой пропускания (passband), амплитуда отклика идеального фильтра равна нулю. Эффективная ширина полосы пропускания определяется шириной полосы фильтра и составляет  Гц.

Если  и , фильтр называется пропускающим (рис. 1.11, а). Если  и  имеет конечное значение, он именуется фильтром нижних частот (рис. 1.11, б). Если  имеет ненулевое значение и , он называется фильтром верхних частот (рис. 1.11, в).

Рис.1.11. Передаточная функция идеальных фильтров: а) идеальный пропускающий фильтр; б) идеальный фильтр нижних частот; в) идеальный фильтр нижних частот

Используя уравнение (1.59) и полагая  для идеального фильтра нижних частот с шириной полосы  Гц, показанной на рис. 1.11, б, можно записать передаточную функцию следующим образом.

                                                                                        (1.58)

где

                                                                                   (1.59)

и

                                                                                               (1.60)

Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12, выражается следующей формулой.

Рис.1.12. Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот

                                       (1.61)

или

,                                                  (1.62)

где функция  определена в уравнении (1.39). Импульсный отклик, показанный на рис. 1.12, является непричинным; это означает, что в момент подачи сигнала на вход (), на выходе фильтра имеется ненулевой отклик. Таким образом, должно быть очевидно, что идеальный фильтр, описываемый уравнением (1.58), не реализуется в действительности.

Пример 1.2. Прохождение белого шума через идеальный фильтр

Белый шум со спектральной плотностью мощности  , показанный на рис 1.8, а, подается на вход идеального фильтра нижних частот, показанного на рис. 1.11, б. Определите спектральную плотность мощности  и автокорреляционную функцию  выходного сигнала.

Решение

     

Автокорреляционная функция - это результат применения обратного преобразования Фурье к спектральной плотности мощности. Определяется автокорреляционная функция следующим выражением (см. табл. А.1).

Сравнивая полученный результат с формулой (1.62), видим, что  имеет тот же вид, что и импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12. В этом примере идеальный фильтр нижних частот преобразовывает автокорреляционную функцию белого шума (определенную через дельта-функцию) в функцию . После фильтрации в системе уже не будет белого шума. Выходной шумовой сигнал будет иметь нулевую корреляцию с собственными смещенными копиями только при смещении на , где  - любое целое число, отличное от нуля.



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.