Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

1. Сигналы и спектры

1.7.2. Дилемма при определении ширины полосы

Множество важных теорем из теории связи и информации опираются на предположение о том, что каналы имеют строго ограниченную полосу; это означает, что за пределами определенной полосы мощность сигнала равна нулю. Таким образом, мы сталкиваемся с дилеммой: сигналы со строго ограниченной полосой, как, например, сигнал со спектром , изображенный на рис. 1.19, б, не могут быть реализованы, поскольку они, как показано на рис. 1.19, а, подразумевают сигналы бесконечной длительности (обратное преобразование Фурье функции ). Сигналы с ограниченной длительностью, как сигнал , показанный на рис. 1.19, в, легко реализуются. Но при этом они также непригодны, поскольку их Фурье-образы имеют энергию на относительно высоких частотах, что можно увидеть из спектра сигнала , показанного на рис. 1.19, г. Итак, можно сказать, что для всех спектров с ограниченной полосой сигналы не реализуемы, а для всех реализуемых сигналов абсолютная ширина полосы равна бесконечности. Математическое описание реального сигнала не допускает, чтобы сигнал был строго ограничен по продолжительности и полосе. Значит, математические модели являются абстракциями; поэтому не удивительно, что до настоящего момента не существует единого определения ширины полосы.

Рис.1.19. Представление сигнала: а) сигнал со строго ограниченной полосой во временной области; б) в частотной области; в) сигнал со строго ограниченной длительностью во временной области; г) в частотной области

Все критерии определения ширины полосы имеют одно общее свойство: они пытаются найти меру ширины, W, неотрицательной действительной спектральной плотности, определенную для всех частот . На рис 1.20 показаны некоторые наиболее распространенные определения ширины полосы (стоит отметить, что различные критерии не являются взаимозаменяемыми). Однополосная спектральная плотность мощности для отдельного гетеродинного импульса   имеет следующее аналитическое выражение.

,                                                                             (1.73)

где  - частота несущей, а Т - длительность импульса. Эта спектральная плотность мощности (рис. 1.20) также характеризует случайную последовательность импульсов; предполагается, что время, по которому производится усреднение, намного больше длительности импульса. График состоит из основного лепестка и меньших симметричных боковых лепестков. Общий вид графика справедлив для большинства форматов цифровых модуляций; в то же время некоторые форматы не имеют ярко выраженных боковых лепестков. Перечислим критерии определения ширины полосы, показанные на рис. 1.20.

Рис.1.20. Ширина полосы цифровых данных: а) половинная мощность; б) шумовой эквивалент; в) по первым нулям; г) 99% мощности; д) ограниченная спектральная плотность мощности по уровню 35 дБ и 50 дБ

а)       ширина полосы половинной мощности. Интервал между частотами, на которых  падает до мощности, вдвое (или на 3 дБ) ниже максимального значения.

б)      ширина полосы шумового эквивалента. Шумовой эквивалент полосы позволяет быстро вычислять мощность шума на выходе усилителя с широкополосным шумом на входе; данное понятие применимо и к ширине полосы сигнала. Ширина полосы шумового эквивалента  определяется отношением , где  - общая мощность сигнала на всех частотах, a  - значение  в центре полосы (предполагается, что это - максимальное значение по всем частотам).

в)       ширина полосы по первым нулям. Наиболее популярной мерой ширины полосы в цифровой связи является ширина основного спектрального лепестка, в котором сосредоточена основная мощность сигнала. Этому критерию недостает универсальности, поскольку в некоторых форматах модуляции отсутствуют явно выраженные лепестки.

г)       полоса, вмещающая определенную часть суммарной мощности. Этот критерий ширины полосы был принят Федеральной комиссией по средствам связи США (Federal Communications Commission - FCC) (см. FCC Rules and Regulations, раздел 2.202), и согласно ему полоса ограничивается так, что за ее пределами находится 1% мощности сигнала (0,5% выше верхней границы полосы и 0,5% ниже нижней границы). Таким образом, на определенную полосу приходится 99% мощности сигнала.

д)      спектральная плотность мощности по уровню  дБ. Еще один популярный метод определения ширины полосы - указать, что за пределами определенной полосы мощность  должна снизиться до заданного уровня, меньшего максимального значения (в центре полосы). Типичными уровнями затухания являются 35 и 50 дБ.

е)       абсолютная ширина полосы. Это интервал между частотами, вне которых спектр равен нулю. Весьма полезная абстракция. Впрочем, для всех реализуемых сигналов абсолютная ширина полосы равна бесконечности.

Пример 1.4. Сигналы со строго ограниченной полосой

Понятие сигнала, который строго ограничен полосой частот, нереализуемо. Докажите это, показав, что сигнал со строго ограниченной полосой должен иметь бесконечную длительность.

Решение

Пусть  - сигнал с Фурье-образом  и строго ограниченной полосой частот, центрированный на частотах  и имеющий ширину .  можно выразить через передаточную функцию идеального фильтра , показанную на рис. 1.21, как

,                                                                              (1.74)

Рис.1.21. Передаточная функция и импульсная характеристика для сигнала со строго ограниченной полосой: а) идеальный полосовой фильтр; б) идеальная полосовая импульсная характеристика

где  - Фурье-образ сигнала , не обязательно имеющий ограниченную ширину полосы, и

,                                                         (1.75)

где

    

 можно выразить через  как

     

Умножение в частотной области, как показано в уравнении (1.74), преобразуется в свертку во временной области.

                                                                                    (1.76)

Здесь  - результат применения обратного преобразования Фурье к функции , который можно записать следующим образом (см. табл. А.1 и А.2).

Вид  показан на рис. 1.21, б. Отметим, что  имеет бесконечную длительность. Следовательно, сигнал , полученный, как показывает уравнение (1.76), путем свертки  с , также имеет бесконечную длительность и, следовательно, не может быть реализован.



*****
Новосибирск © 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.