Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

10. Синхронизация

10.2.1.3. Анализ нелинейного контура

Обсуждение контура ФАПЧ, приведенное в предыдущих разделах, основывалось на линеаризованной модели контура ФАПЧ. Схематически эта модель показана на рис. 10.2. В данной модели использовано приближение малых углов.

Рис. 10.2. Схема линеаризованной модели контура ФАПЧ

                              (10.32)

Данное приближение справедливо, когда контур синхронизирован и функционирует желаемым образом (т.е. с небольшими рассогласованиями по фазе). Очевидно, эти условия формируют только часть общей картины. Полный анализ производительности контура ФАПЧ должен исходить из предположения, что уравнение (10.32) справедливо не всегда. Когда приближение малых углов становится неточным, подходящей моделью является изображенная на рис. 10.3. С помощью формул (10.4), (10.20) и (10.21) и рис. 10.3 модель можно описать следующим дифференциальным уравнением.

                   (10.33)

Рис. 10.3. Схема нелинейной модели контура ФАПЧ

Здесь, как и ранее, знак * обозначает операцию свертки. Несмотря на значительные усилия исследователей, общее решение данного дифференциального уравнения не удается найти на протяжении многих лет. Впрочем, Витерби (Viterbi) [8] вывел аналитическое решение для одного важного частного случая.

Рассмотрим следующий случай. Пусть входная фаза Q(t), которая, вообще-то, является функцией времени, равна константе Q. Определим теперь новую фазовую переменную

                     (10.34)

Поскольку Q — это константа, уравнение (10.33) можно переписать следующим образом.

           (10.35)

Поскольку из уравнения (10.35) (t) является функцией случайного процесса n'(t), сама (t) также есть случайным процессом. Так как фаза (t) определена по модулю 2π, можно показать [5], что (t) стационарна в пределе, по прошествии всех переходных процессов (т.е. Q — константа). Витерби [8] определил, что для контура ФАПЧ первого порядка (т.е. контурный фильтр — это просто цепь короткого замыкания, или, что эквивалентно, f(t) = d(t) функция плотности вероятности  имеет следующий вид.

                      (10.36)

Здесь    (см. уравнение (10.31)) — нормированное (на энергию единичного сигнала) отношение сигнал/шум контура, а l0() — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, взятая в точке . Дисперсию фазы по модулю 2π теперь можно вычислить с использованием уравнения (10.36). Полученное значение дисперсии фазы будет точным для контуров первого порядка и весьма хорошим приближением для многих контуров второго порядка [5]. В работе [9] было показано, что это выражение также справедливо для контуров высоких порядков при несколько видоизмененном определении р.

Замена переменной с фазы, которая может принимать любое действительное значение, на фазу по модулю 2π приводит к необходимости введения понятия проскальзывания цикла контура. Проскальзывание цикла происходит, когда величина исходного рассогласования по фазе превышает 2π радиан. Это приводит к внезапному изменению значения  (уравнение (10.34)) с 2π на 0. Данное явление можно рассматривать как мгновенную потерю синхронизации с практически немедленным ее восстановлением. Статистика проскальзываний цикла может быть таким же важным показателем производительности контура ФАПЧ, как и дисперсия фазы — особенно при низких отношениях сигнал/шум в контуре, когда проскальзывание цикла может происходить довольно часто.

Витерби, используя выражения, полученные для распределения фаз, вывел [8] выражения для среднего времени до первого проскальзывания цикла-Tm, отсчитываемого от некоторого произвольного эталонного времени.

                        (10.37)

При больших   это выражение можно приближенно записать следующим образом.

                      (10.38)

Как и для функции плотности вероятности в уравнении (10.36), полученные результаты выведены для контуров первого порядка, но они являются полезной аппроксимацией для контуров второго порядка и описывают верхнюю границу производительности циклов второго порядка при средних и больших отношениях сигнал/шум в контуре. Кроме того, компьютерное моделирование и лабораторные измерения [5] показывают, что время Т между проскальзываниями цикла имеет экспоненциальное распределение.

                        (10.39)

Иными словами, вероятность того, что в течение промежутка времени Т при нулевом текущем рассогласовании по фазе произойдет проскальзывание цикла, описывается выражением (10.39).



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.