Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

12. Методы расширенного спектра

12.3.2. Коэффициент расширения спектра и производительность

Фундаментальным вопросом в использовании систем расширенного спектра является предлагаемая ими степень защиты сигнала от помех ограниченной мощности. Методы расширения спектра расширяют относительно низкоразмерный сигнал в многомерное сигнальное пространство. Сигнал "скрыт" в этом сигнальном пространстве, поскольку предполагается, что станции-постановщику преднамеренных помех неизвестны координаты передачи сигнала в каждый момент времени. Связь можно нарушить путем создания помех во всем диапазоне, используя при этом всю ограниченную мощность генератора. В этом случае в каждой точке диапазона будут присутствовать помехи ограниченной мощности. Еще одним способом нарушения связи может быть создание помех в некоторых точках диапазона. Соответственно, весь остальной диапазон будет свободен от преднамеренных шумов.

Рассмотрим набор из D ортогональных сигналов si(t), 1<i<D, в N-мерном пространстве. Будем считать, что в общем случае D<<N. В соответствии с выкладками, приведенными в разделе 3.1.3, можно записать следующее.

                        (12.12)

где

                                                  (12.13)

а также

                                 (12.14)

Линейно независимые функции  охватывают или характеризуют N-мерное ортогональное пространство; их называют базисными функциями пространства. При передаче каждого информационного символа, чтобы скрыть D-мерный сигнал в N-мерном пространстве с помощью псевдослучайного расширяющего кода, независимо выбирается набор коэффициентов {aij}. Набор случайных переменных {aij} может с вероятностью 1/2 иметь значение ±а. Для корректного сужения сигнала приемник, разумеется, должен иметь доступ к каждому набору коэффициентов. Характерно, что даже если передача одного и того жеj-го символа многократно повторяется, набор {aij} выбирается заново для каждого процесса передачи. Предположим, что энергия всех сигналов набора D одинакова. Тогда среднюю энергию сигнала можно записать в следующем виде:

                                          (12.15)

где черта над выражением означает математическое ожидание по ансамблю большого числа процессов передачи символов. Независимые коэффициенты имеют нулевое среднее и корреляцию.

                                   (12.16)

Обычно считается, что станция умышленных помех не обладает априорной информацией о наборе коэффициентов {aij}. С точки зрения станции помех коэффициенты равномерно распределены по N базисным координатам. Если помехи создаются равномерно по всему диапазону, сигнал помех w(t) может быть записан в следующем виде.

                                                    (12.17)

Полная энергия такого сигнала равна следующему.

                                             (12.18)

Станция умышленных помех может выработать стратегию выбора частей  полной  (фиксированной) энергии Еw таким образом, чтобы свести к минимуму отношение сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) в приемнике после демодуляции.

Выходной сигнал детектора в приемнике

                                                        (12.19)

коррелирует с набором переданных сигналов (собственными шумами приемника пренебрегаем), так что выход /-го коррелятора можно записать в следующем виде.

                                          (12.20)

Усредненное значение второго члена правой части уравнения (12.20) по ансамблю всех возможных псевдослучайных кодовых последовательностей равно нулю, поскольку считается, что элементы множества случайных переменных {aij} с вероятностью 1/2 принимают значения ± а. Следовательно, если считать, что передан был сигнал sm(t), математическое ожидание выхода i-го коррелятора может быть записано в следующем виде [6, 7].

                                      (12.21)

Для случая i=m член E(zi|sm) можно интерпретировать следующим образом. Пусть требуется передать сигнал si{t). Выбирается N псевдослучайных коэффициентов аij (1jN). При этом считается, что при восстановлении исходных данных приемник имеет Доступ к каждому набору aij. Таким образом, хотя при вычислении E(zi|sm) i-й информационный символ задается в передатчике, передается набор коэффициентов, которые кажутся случайными для постороннего приемника. Отметим, что в уравнении (12.21) не учитывается возможность использования станцией умышленных помех изощренных, усложненных методов (описанных в разделе 12.6).

Предположим, что D сигналов равновероятны. Тогда математическое ожидание для выхода любого из D корреляторов можно записать следующим образом.

                                                   (12.22)

Подобным образом с помощью уравнений (12.15)-(12.21) вычисляем , дисперсию выхода i-го коррелятора, считая что передан i-й сигнал.

          (12.23)

                                                                                                         (12.24)

Для полноты рассмотрения можно подобным образом вычислить дисперсию выхода i-го коррелятора после передачи m-го сигнала ().

                                             (12.25)

Отношение мощности сигнала к мощности преднамеренной помехи (signal-to-jammer ratio — SJR) на выходе i-го коррелятора может быть определено следующим образом.

                      (12.26)

Поскольку считается, что вероятность передачи каждого из сигналов одинакова, вероятность передачи т-го сигнала P(Sm) равна 1/D. Энергия сигнала и помехи обозначается, соответственно, E2(zi) и var(zi). В соответствии с уравнением (12.21) члены суммы в (12.26) не равны нулю только при i=m. Таким образом, результат не зависит от распределения энергии станции умышленных помех. Какими бы ни были коэффициенты bj в сумме  , значение SJR в уравнении (12.26) свидетельствует о том, что при расширении спектра энергия сигнала превосходит энергию помех в N/D раз. Данное отношение N/D называют коэффициентом расширения спектра (processing gain) Gp.

Если считать размерность сигнала с шириной полосы W и длительностью Т приблизительно равной 2WТ, коэффициент расширения спектра можно записать в следующем виде.

                                         (12.27)

где Wss — ширина полосы расширенного спектра (полная ширина полосы, используемая в методе расширения), Wmin, — минимальная ширина полосы данных (считается равной скорости передачи данных, R). Для систем с использованием метода прямой последовательности Wss и Wmin, приблизительно равны, соответственно, скорости передачи элементарных сигналов Rch и скорости передачи данных R. В результате можно записать следующее.

                                                                  (12.28)

В данном случае под элементарным сигналом (chip) подразумевается наименьший непрерывный сигнал в системе. Для систем расширения спектра методом прямой последовательности элементарный сигнал представляет собой импульс (или элемент сигнала) псевдослучайного кода.

В любом случае использования расширенного спектра (например, для подавления интерференции или достижения высокого временного разрешения) коэффициент расширения спектра — это параметр, описывающий преимущество системы расширенного спектра перед узкополосной системой. В общем случае для модуляции сигнала в системе расширения спектра методом прямой последовательности используется схема BPSK или QPSK. Предположим, что двоичный символ состоит из 1000 элементарных кодовых сигналов BPSK. В соответствии с уравнением (12.28) коэффициент расширения спектра в данном случае будет равен 1000. Для демонстрации того, что такая система расширенного спектра позволяет более устойчивую передачу (относительно узкополосной системы), рассмотрим следующий пример. Представим, что в процессе обнаружения решение относительно значения принятого символа принимается для каждого из 1000 элементарных сигналов. Разумеется, в действительности такое не происходит; 1000 элементарных сигналов собираются, и проверяется их корреляция с кодом, что порождает единое решение относительно значения бита. Но даже если принять такую схему, то бит будет обнаружен правильно, даже если 499 решений из 1000 будут неверными.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.