Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

13. Кодирование источника

13.2.1. Шум квантования

Разность между входом и выходом преобразователя называется ошибкой квантования (quantizing error). На рис. 13.5 изображен процесс отображения входной последовательности x(t) в квантованную выходную последовательность x(t). Получение x(t) можно представить как сложение каждого x(t) с ошибочной последовательностью e(i).

Ошибочная последовательность e(t) детерминированно определяется входной амплитудой через зависимость мгновенной ошибки от амплитудной характеристики, изображенной на рис. 13.4. Отметим, что ошибочная последовательность демонстрирует две различные характеристики в различных входных рабочих областях.

Первым рабочим интервалом является гранулированная область ошибок, соответствующая подаче на вход пилообразной характеристики ошибки. Внутри этого интервала квантующие устройства ограничены размерами соседних ступенчатых подъемов. Ошибки, которые случаются в этой области, называются гранулированными (granular errors), или иногда ошибками квантования (quantizing error). Входной интервал, для которого ошибки преобразования являются гранулированными, определяет динамическую область преобразователя. Этот интервал иногда называется областью линейного режима (region of linear operation). Соответствующее использование квантующего устройства требует, чтобы условия, порожденные входным сигналом, приводили динамическую область входного сигнала в соответствие с динамической областью устройства квантования. Этот процесс является функцией сигнально зависимой системы регулировки усиления, называемой автоматической регулировкой усиления (automatic gain control — AGC, АРУ), которая показана на пути прохождения сигнала на рис. 13.5.

Рис. 13.5. Процесс и модель повреждения входного сигнала шумом квантования

Вторым рабочим интервалом является негранулированная область ошибок, соответствующая линейно возрастающей (или убывающей) характеристике ошибки. Ошибки, которые происходят в этом интервале, называются ошибками насыщения (saturation error) или перегрузки (overload error). Когда квантующее устройство работает в этой области, говорят, что преобразователь насыщен. Ошибки насыщения больше,

чем гранулированные ошибки, и могут оказывать большее нежелательное влияние на точность воспроизведения информации.

Ошибка квантования, соответствующая каждому значению входной амплитуды, представляет слагаемое ошибки или шума, связанное с данной входной амплитудой. Если интервал квантования мал в сравнении с динамической областью входного сигнала и входной сигнал имеет гладкую функцию плотности вероятности в интервале квантования, можно предположить, что ошибки квантования равномерно распределены в этом интервале, как изображено на рис. 13.6. Функция плотности вероятности с нулевым средним соответствует округляющему квантующему устройству, в то время как функция плотности вероятности со средним -q/2 соответствует усекающему квантующему устройству.

Квантующее устройство, или аналого-цифровой преобразователь (analog-to-digital converter — ADC, АЦП), определяется числом, размером и расположением своих уровней квантования (или границами шагов и соответствующими размерами шагов). В равномерном квантующем устройстве размеры шагов равны и расположены на одинаковом расстоянии. Число уровней N обычно является степенью 2 вида N = 2b, где bчисло бит, используемых в процессе преобразования.

Рис. 13.6. Функции плотности вероятности для ошибки квантования, равномерно распределенной в интервале квантили, q: а) функция плотности вероятности для округляющего преобразователя; б) функция плотности вероятности для усекающего преобразователя

Это число уровней равномерно распределено в динамической области возможных входных уровней. Обычно этот интервал определяется как +Emax, подобно ±1,0 В или ±5,0 В. Таким образом, для полного интервала 2Emax величину шага преобразования получим в следующем виде.

                               (13.11)

В качестве примера использования равенства (13.11) шаг квантования (в дальнейшем называемый квантилъю) для 10-битового преобразователя, работающего в области ±1,0V, равен 1,953 мВ. Иногда рабочая область преобразователя изменяется так, что квантиль является "целым" числом. Например, изменение рабочей области преобразователя до ±1,024 В приводит к шагу квантования, равному 2,0 мВ. Полезным параметром равномерного квантующего устройства является его выходная дисперсия. Если предположить, что ошибка квантования равномерно распределена в отдельном интервале ширины q, дисперсия квантующего устройства (которая представляет собой шум квантующего устройства или мощность ошибки) для ошибки с нулевым средним находится следующим образом.

            (13.12)

где р(е) = l/q в интервале qэто функция плотности вероятности (probability density function — pdf) ошибки квантования е. Таким образом, среднеквадратическое значение шума квантования в интервале квантили ширины q равно или 0,29q. Уравнение (13.12) определяет мощность шума квантования в интервале размером в одну квантиль в предположении, что ошибки равновероятны в пределах интервала квантования. Если включить в рассмотрение работу в интервале насыщения квантующего устройства или рассмотреть неравномерные устройства квантования, то получим, что интервалы квантования не имеют равной ширины внутри области изменения входной переменной и плотность амплитуды не является равномерной внутри интервала квантования. Можно вычислить эту зависящую от амплитуды энергию ошибки  усредняя квадраты ошибок по амплитуде переменной, взвешенной вероятностью этой амплитуды. Это можно выразить следующим образом.

                   (13.13)

где х — входная переменная, q(x) — ее квантованная версия, е(х) = х - q(x) — ошибка, а р(х) — функция плотности вероятности амплитуды х. Интервал интегрирования в формуле (13.13) можно разделить на два основных интервала: один отвечает за ошибки в ступенчатой или линейной области квантующего устройства, а второй — за ошибки в области насыщения. Определим амплитуду насыщения квантующего устройства как Emaх. Предположим также, что передаточная функция квантующего устройства есть четно-симметричной и такой же является функция плотности вероятности для входного сигнала. Мощность ошибки , определенная равенством (13.13), является полной мощностью ошибки, которая может быть разделена следующим образом.


                                                                                                (13.14,а)

                                                                                                (13.14,6)

Здесь — мощность ошибки в линейной области, a — мощность ошибки в области насыщения. Мощность ошибки  может быть далее разделена на подынтервалы, соответствующие последовательным дискретным входным уровням квантующего устройства (т.е. квантилям). Если предположить, что существует N таких уровней квантили, интеграл превращается в следующую сумму.

                                    (13.15)

где хn — уровень квантующего устройства, а интервал или шаг между двумя такими уровнями называется интервалом квантили (quantile interval). Напомним, что N, как правило, является степенью 2. Таким образом, существует N/2 — 1 положительных уровней, N/2 - 1 отрицательных уровней и нулевой уровень — всего N - 1 уровень и N -2 интервала. Теперь, если аппроксимировать плотность на каждом интервале квантили константами qn= (xn+1 - хn), выражение (13.15) упростится до следующего вида.

                           (13.16)

где е(х) в равенстве (13.15) было заменено х из (13.16), поскольку е(х) — линейная функция от х, имеющая единичный наклон и проходящая через нуль в центре каждого интервала. Кроме того, пределы интегрирования в равенстве (13.15) были заменены в соответствии с изменениями х внутри интервала квантили. Поскольку область изменения была обозначена через qn, нижний и верхний пределы могут быть обозначены как х= -qn/2 и х= +qn/2. Равенство (13.16) описывает мощность ошибки в линейной области в виде суммы мощности ошибки q/12 в каждом интервале квантили, взвешенной вероятностью p(xn)qn этой энергии ошибки.



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.