13.2.5.2. Логарифмическое сжатие

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

13. Кодирование источника

13.2.5.2. Логарифмическое сжатие

В предыдущем разделе был представлен закон сжатия для случая, когда входная функция плотности вероятности сигнала хорошо определена. Сейчас обратимся к случаю, в котором об этой функции известно мало. Это, например, происходит, когда средняя энтропия входного сигнала является случайной величиной. Например, уровень голоса случайно выбранного телефонного пользователя может варьироваться от одного экстремального значения (доверительный шепот) до другого (крик).

При неизвестной функции плотности вероятности характеристика компрессора неравномерного устройства квантования должна быть выбрана так, чтобы результирующий шум не зависел от конкретной плотности. Хотя это и представляется идеальным, достижение такой независимости может оказаться невозможным. Однако мы хотим компромисса и будем пытаться установить возможную независимость среди большого числа входных дисперсий и плотностей. Пример квантующего устройства, которое показывает отношение SNR, независимое от функции плотности вероятности входного сигнала, можно представить с помощью рис. 2.18. На этом рисунке можно наблюдать значительное отличие в отношениях NSR для входных сигналов с различными амплитудами, квантованных с помощью равномерного квантующего устройства. Для сравнения можно видеть, что неравномерное устройство квантования допускает только большие ошибки для больших сигналов. Преимущество такого подхода понятно интуитивно. Если SNR должно быть независимо от распределения амплитуды, шум квантования должен быть пропорционален входному уровню. В формуле (13.25) представлена дисперсия шума квантующего устройства для произвольной функции плотности вероятности и произвольной характеристики компрессора. Дисперсия сигнала для любой функции плотности вероятности равна следующему.

(13.27)

При отсутствии насыщения SNR квантующего устройства имеет следующий вид.

(13.28)

Чтобы SNR не зависело от конкретной плотности, необходимо, чтобы числитель был масштабированной версией знаменателя. Это требование равносильно следующему.

(13.29)

или

(13.30)

Отсюда с помощью интегрирования находим следующее.

(13.31)

или

C(x)=ln x+const (13.32)

Этот результат является интуитивно привлекательным. Логарифмический компрессор допускает постоянное SNR на выходе, поскольку с использованием логарифмической шкалы одинаковые расстояния (или ошибки) являются в действительности одинаковыми отношениями, а это и требуется для того, чтобы SNR оставалось фиксированным в области входного сигнала. Константа в равенстве (13.32) нужна для согласования граничных условий по дг|тхи ;упих. Учитывая эти граничные условия, получим логарифмический преобразователь следующего вида.

(13.33)

Вид сжатия, предложенный логарифмической функцией, изображен на рис. 13.14, а. Сложность, связанная с этой функцией, состоит в том, что она не отображает отрицательные входные сигналы. Отрицательные сигналы учитываются путем добавления отраженной версии логарифма на отрицательную полуось. Эта модификация изображается на рис. 13.14 и влечет за собой следующее.

(13.34)

где

Рис. 13.14. Логарифмическое сжатие: а) прототип логарифмической функции для закона сжатия; 6) прототип функции ln|x| sgn x для закона сжатия; в) функция ln|x| sgn x с плавным соединением между сегментами.

Еще одна возникающая в этой ситуации сложность состоит в том, что сжатие, описанное равенством (13.34), не является непрерывным в начале координат; в действительности оно не имеет смысла в начале координат. Необходимо выполнить плавное соединение между логарифмической функцией и линейным отрезком, проходящим через начало координат. Существует две стандартные функции сжатия, выполняющие это соединение, —-закон компандера и А-закон компандера.

Компандер, использующий -закон. Компандер, использующий -закон, введенный компанией Bell System для использования в Северной Америке, имеет следующий вид.

(13.35)

Приблизительное поведение этого компрессора в областях, соответствующих малым и большим значениям аргумента, является следующим.

(13.36)

Параметр в компандере, использующем -закон, обычно устанавливался равным 100 для 7-битового преобразователя. Позже он изменился до 255 для 8-битового преобразователя. В настоящее время стандартным североамериканским конвертером является 8-битовый АЦП с = 255.

Пример 13.6. Среднее SNR для компрессора, использующего ц-закон

Среднее SNR для компрессора, использующего ц-закон, можно оценить, подставляя выражение для ц-закона в формулу (13.28). Для положительных значений входной переменной х закон сжатия имеет следующий вид.

(13.37)

Затем производная равна следующему.

(13.38)

Для значений входной переменной, для которых является большим в сравнении с единицей, производная переходит в следующее выражение.

(13.39)

Подставляя 1/ С(х) в формулу (13.28), получаем следующее.

(13.40)

(13.41)

Отношение 2ymax/q приблизительно равно числу уровней квантования (2b) для b-битового сжимающего устройства квантования. Для 8-битового преобразователя с = 255 имеем следующее.

(13.42)

Для сравнения на рис. 13.15 представлено отношение SNR АЦП, использующего -закон. Здесь SNR изображено для входных синусоид различной амплитуды. Там же изображен уровень 38,1 дБ, вычисленный в формуле 13.42, и SNR для линейного квантующего устройства с той же областью входных амплитуд. Как и предсказывалось, квантующее устройство, использующее -закон, поддерживает постоянное SNR для значительного диапазона входных уровней. Зубчатость кривой производительности (гранулярность квантующего устройства) вызвана логарифмической функцией сжатия. Реальные преобразователи, помимо этого, показывают дополнительную зубчатость вследствие кусочно-линейной аппроксимации непрерывной кривой -закона. На рис. 13.16 представлено дискретное преобразование Фурье пары входных синусоид относительных амплитуд 1,0 (0 дБ) и 0,01 (-40 дБ). Входной сигнал квантуется с помощью 10-битового преобразователя, использующего -закон ( = 500), и на рис. 13.16, а-в уровни сигнала ослабляются на 1,20 и 40 дБ относительно полномасштабного входа. Отметим, что уровни шума квантования для полномасштабного сигнала на рис. 13.16, а выше, чем у равномерного АЦП (-72 дБ против -83 дБ, как видно из рис. 13.7). Для ослабленных сигналов отмечаем улучшенное отношение SNR логарифмически сжимающего АЦП по сравнению с равномерным АЦП. Видно, что поскольку уровни входного сигнала уменьшились, шум квантования также снизился, и при ослаблении в 40 дБ уровень шума упал до -108 дБ. Таким образом, логарифмически сжимающие АЦП не имеют проблемы "видения" входного сигнала низкого уровня даже при ослаблении на 40 дБ, как на рис. 13.16, в, в то время как тот же сигнал теряется среди шума равномерного преобразователя, как показано на рис. 13.7, в.

Рис. 13.15. Предсказанное и измеренное отношение SNR для АЦП, использующегоц -закон

Рис. 13.16. Спектр мощности сигналов АЦП, использующего -закон

Рис. 13.16. Спектр мощности сигналов АЦП, использующего-закон (окончание)

Реальная характеристика компрессора, использующего -закон, описана формулой (13.35). Как показано на рис. 13.17, 16 сегментов линейных хорд аппроксимируют функциональное выражение на 256 возможных выходных уровнях. Восемь из этих сегментов расположены в первом квадранте, восемь — в третьем квадранте и сегмент "0" имеет один и тот же наклон в обоих квадрантах. Вдоль каждого сегмента хорды квантование является равномерным по четырем битам преобразования низшего порядка. Таким образом, 8-битовый сжимающий формат преобразования имеет следующий вид.

Рис. 13.17. Семибитовое сжатое квантование для 16-сегментной аппроксимации -закона

Он представляет собой кусочную аппроксимацию хордами до плавной функции и ступенчатую аппроксимацию каждой хорды, учитывающую дополнительную зубчатость в кривой SNR, которая представлена на рис. 13.15.

Компандер, использующий А-закон. Этот компандер является стандартом CCITT (Consultative Committee for International Telephone and Telegraphy — Международный консультативный комитет по телеграфии и телефонии, МККТТ), а следовательно европейским стандартом аппроксимации логарифмического сжатия. Характеристика компрессора имеет следующий вид.

(13.43)

Стандартным значением параметра А является 87,56, и (при использовании 8-битового преобразователя) SNR для этого значения равно 38,0 дБ. Сжимающая характеристика А-закона аппроксимируется подобно тому, как это делалось для компрессора, использующего -закон, — с помощью последовательности 16 линейных хорд, охватывающих выходную область. Нижние две хорды в каждом квадранте являются в действительности хордами сигнала, соответствующими линейному сегменту компрессора, использующего А-закон. Одним важным отличием между характеристиками сжатия А- и -законов является то, что стандарт А-закона имеет характеристику с нулем на границе шага квантования, в то время как стандарт -закона — характеристику с нулем в центре шага квантования. Таким образом, компрессор с A-законом не имеет нулевого значения, и следовательно, для него не существует интервала, на котором бы при нулевом входе не передавались данные.

Существует прямое отображение из формата АЦП, использующего 8-битовое сжатие с А-законом, в 12-битовый линейный двоичный код и из формата 8-битового сжатия с -законом в 13-битовый линейный код [8]. Эта операция позволяет преобразование аналоговой информации в цифровую с помощью равномерного устройства квантования с последующим отображением в меньшее число бит в кодовом преобразователе. Кроме того, это позволяет обратное отображение в приемнике (т.е. расширение) производить на числовой выборке.

Импульсно-кодовая модуляция. Одной из задач, выполняемых в ходе импульсно-кодовой модуляции (pulse-code modulation — PCM), является преобразование исходных волновых сигналов в дискретные двоичные последовательности. Эта задача производится с помощью трехэтапного процесса — дискретизации, квантования и кодирования. Процесс дискретизации изучался в главе 2, а процесс квантования — в данной главе и в главе 2. Отметим, что процесс кодирования, следующий за квантованием (см. рис. 2.2), часто воплощается на аппаратном уровне и выполняется тем же устройством, что и квантование. Вообще, процесс может быть описан следующим образом: последовательная аппроксимация аналого-цифровых преобразователей образует последовательные биты декодированных данных с помощью обратной связи, сравнения и процесса принятия решения. В процессе обратной связи постоянно задается вопрос, входной сигнал находится выше или ниже средней точки остаточного интервала неопределенности. С помощью этой технологии интервал неопределенности сокращается до половинного на каждом шаге сравнения и принятия решения до тех пор, пока интервал неопределенности не совпадет с допустимым интервалом квантования.

При последовательной аппроксимации результат каждого предыдущего решения снижает неопределенность, которая должна быть разрешена во время следующего преобразования. Аналогично результаты предшествующих преобразований аналоговой информации в цифровую могут использовать для уменьшения неопределенности, которая должна быть разрешена во время следующего преобразования. Эта редукция неопределенности достигается путем передачи каждой последующей выборке вспомогательной информации из более ранних выборок. Эта информация называется избыточной частью сигнала, и с помощью ее передачи сокращается интервал неопределенности, в котором квантующее устройство и кодер должны вести поиск следующей выборки сигнала. Передача данных — это один из методов, с помощью которых достигается снижение избыточности.







© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.