13.3.2. <i>N</i>-отводное предсказание

Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

13. Кодирование источника

13.3.2. N-отводное предсказание

N-отводный фильтр LPC предсказывает последующее выборочное значение на основании линейной комбинации предшествующих N выборочных значений. Будем предполагать, что квантованные оценки, которые используются предсказывающими фильтрами, являются несмещенными и безошибочными. Приняв это предположение, можно опустить двойные индексы (использованные в разделе 13.3.1) для данных в фильтре, но использовать их для предсказания. Тогда уравнение N-отводного предсказания принимает следующий вид.

      (13.52)

Ошибка предсказания принимает следующий вид.

                            (13.53.а)

            (13.53.б)

Среднеквадратическая ошибка предсказания имеет вид

                 (13.54)

Ясно, что Среднеквадратическая ошибка предсказания выражается через квадрат коэффициентов фильтра aj. Можно образовать частные производные от среднеквадратических ошибок по каждому коэффициенту, как это делалось в разделе 13.3.1, и найти коэффициенты, которые обращают частные производные в нуль. Формально, вычисляя частные производные по j-му коэффициенту (до раскрытия х(п|п -1)), получим следующее.

         (13.55,а)

                                             (13.55,б)

   (13.55,в)

               (13.55,г)

Эта система уравнений (по одному для каждого j) может быть записана в матричной форме, и тогда она будет называться нормальными уравнениями.

   (13.56.a)

Нормальные уравнения могут быть записаны более компактно.

                                         (13.56,б)

где — это корреляционный вектор задержек от 1 до N, Rxx — корреляционная матрица (предполагается процесс с нулевым среднем), a aopt — вектор оптимальных весовых коэффициентов фильтра.

Чтобы изучить решения нормальных уравнений, запишем уравнение (13.54) для среднеквадратической ошибки в матричной форме.

        (13.57,а)

                    (13.57,б)

где  — транспонированная матрица для матрицы к. Замена aopt на а в равенстве (13.57,б) с последующей заменой  на  дает следующее.

           (13.58,а)

                                                         (13.58,б)

Теперь можем перенести правую часть уравнения (13.56) в левую и использовать уравнение (13.58,б) для дополнения верхней строки матрицы, чтобы получить "чистый" вид оптимального предсказателя.

   (13.59)

В этой форме ненулевой выход матричного произведения имеет место только в момент нуль, что подобно выходному импульсу.

Верхняя строка уравнения (13.59) свидетельствует о том, что мощность ошибки предсказания имеет следующий вид.

       (13.60)

Сравните это равенство с (13.50,6). Интересное свойство оптимального N-отводного фильтра с предсказанием состоит в том, что множество коэффициентов, которое задает минимальную среднеквадратическую ошибку предсказания, с нулевой ошибкой предсказывает также последующие N-1 корреляционных выборок на основании предшествующих N-1 корреляционных выборок. Для фиксированных коэффициентов фильтра кодер DPCM может давать усиление предсказания относительно линейного квантования от 6 до 8 дБ [9, 10]. Это усиление, по сути, независимо от длины фильтра, если длина превосходит три или четыре отвода. Дополнительное усиление имеет место, если кодер обладает медленными адаптивными свойствами. Адаптивные кодеры вводятся в разделе 13.3.3 и подробнее обсуждаются в разделе 13.3.4.









© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.
E-mail: formyneeds@yandex.ru