Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

1. Сигналы и спектры

Задачи

1.1.          Определите, в каком представлении даны следующие сигналы: в энергетическом или мощностном. Найдите нормированную энергию и нормированную мощность каждого сигнала.

а)  для

б)     

в)    

г)  для

1.2.    Определите спектральную плотность энергии квадратного импульса , где функция  для  и нулю - для остальных . Вычислите нормированную энергию  импульса.

1.3.    Выразите среднюю нормированную мощность периодического сигнала через коэффициенты комплексного ряда Фурье.

1.4.    Используя усреднения по времени, найдите среднюю нормированную мощность сигнала .

1.5.    Решите задачу 1.4. посредством суммирования спектральных коэффициентов.

1.6.    Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства автокорреляционных функций. Ответ аргументируйте. (Примечание:  должна быть не отрицательной функцией. Почему?)

         а)    

         б)

         в)

                г)    

1.7.    Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства функций спектральной плотности мощности. Ответ аргументируйте.

         а)

         б)

         в)

         г)

1.8.    Выразите автокорреляционную функцию  через её период . Найдите среднюю нормированную мощность , использую соотношение .

1.9.    а) Используя результаты задачи 1.8, найдите автокорреляционную функцию  сигнала .

         б) Используя соотношение , найдите среднюю нормированную мощность сигнала . Сравните ответ с ответами задач 1.4 и 1.5.

1.10.  Для функции  вычислите (а) среднее значение ; (б) мощность переменной составляющей ; (в) среднеквадратическое значение .

1.11.  Рассмотрим случайный процесс, описываемый функцией , где  и  - константы, а  - случайная переменная, равномерно распределенная на промежутке . Если  является эргодическим процессом, среднее по времени от  в пределе
  равно соответствующему среднему по ансамблю от .

а) Используя усреднение по времени целого числа периодов, вычислите приближенно первый и второй моменты .

б) Используя уравнения (1.26) и (1.28), приближенно вычислите средние по ансамблю значения первого и второго моментов . Сравните результаты с ответом на п. а.

1.12.  Фурье-образ сигнала  определяется формулой  (функция  определена в уравнении (1.39)). Найдите автокорреляционную функцию  сигнала .

1.13.  Используя свойства дельта-функции, вычислите следующие интегралы.

          а)

          б)

          в)

          г)

1.14. Найдите свертку  для спектров, показанных на рис. З1.1.

Рис.З1.1

1.15. На рис. 31.2 показана двусторонняя спектральная плотность мощности, , сигнала .

Рис.З1.2

а) Найдите нормированную среднюю мощность  в диапазоне частот от 0 до 10 кГц.

б) Найдите нормированную среднюю мощность  в диапазоне частот от 5 до 6 кГц.

1.16.  Как показано в уравнении (1.64,а), децибелы - это логарифмическая мера отношения мощностей.     Иногда     в    децибелах     выражаются     немощностные     характеристики (относительно некоторых выделенных единиц). В качестве примера вычислите, сколько децибелов мяса для бифштексов вы приобретете, чтобы в группе из 100 человек каждый получил 2 гамбургера. Предположим, что в качестве эталонной единицы вы и мясник договорились использовать полфунта мяса (вес одного бифштекса).

1.17.  Рассмотрим амплитудный отклик фильтра Баттерворта нижних частот в форме, приведенной в уравнении (1.65).

а) Найдите , при котором  колеблется в пределах ±1 дБ в диапазоне

б) Покажите, что при , стремящемся к бесконечности, амплитудный отклик приближается к амплитудному отклику идеального фильтра.

1.18.  Рассмотрим сеть, приведенную на рис. 1.9, частотная передаточная функция которой равна . На вход подается импульс . Покажите, что отклик  на выходе представляет собой результат обратного преобразования Фурье .

1.19.  На рис. 31.3 приведен пример цепи запоминания, широко используемой в импульсных системах. Определите импульсную характеристику этого канала.

Рис.З1.3

1.20.      Для спектра

определите ширину полосы сигнала, используя следующие определения ширины полосы:

а) ширина полосы половинной мощности;

б) ширина полосы шумового эквивалента;

в) ширина полосы по первым нулям;

г) полоса, вмещающая 99% мощности (подсказка: используйте численные методы);

д) полоса по уровню 35 дБ;

е) абсолютная ширина полосы.

Вопросы для самопроверки

1.1.    Как график автокорреляционной функции сигнала характеризует занятость полосы сигнала (см. раздел 1.5.4)?

1.2.    Какие два требования необходимо удовлетворить для обеспечения передачи без искажения через линейную систему (см. раздел 1.6.3)?

1.3.    Дайте определение параметру групповая задержка (см. раздел 1.6.3).

1.4.    Какая математическая дилемма является причиной существования нескольких определений ширины полосы (см. раздел 1.7.2)?



*****
© Банк лекций Siblec.ru
Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.