Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

2. Форматирование и узкополосная модуляции

2.4.1.1. Выборка с использованием единичных импульсов

В данном разделе справедливость теоремы о дискретном представлении демонстрируется с помощью свойства преобразования Фурье, относящегося к свертке в частотной области. Рассмотрим вначале идеальную дискретизацию с помощью последовательности единичных импульсных функций. Предположим, у нас имеется аналоговый сигнал , приведенный на рис. 2.6, а, и его Фурье-образ  (рис. 2.6, б) равен нулю вне интервала . Дискретное представление  можно рассматривать как произведение функции  и последовательности периодических единичных импульсов , показанной на рис. 2.6, в и определяемой следующей формулой.

Рис.2.6. Теорема о дискретном представлении и свёртка Фурье образов

Здесь  - период дискретизации, а  - единичный импульс или дельта-функция Дирака, определенная в разделе 1.2.5. Выберем  равным , так что будет выполнено минимальное необходимое условие удовлетворения критерия Найквиста.

Выборочное свойство импульсной функции (см. раздел А.4.1) можно описать следующим выражением.

                                                                             (2.4)

Воспользовавшись этим свойством, можно заметить, что , дискретный вариант , показанный на рис. 2.6, д, описывается следующим выражением.

                                     (2.5)

Используя свойство преобразования Фурье для свертки в частотной области (см. раздел А.5.3), мы можем преобразовать произведение временных функций в уравнении (2.5) в свертку частотных функций , где

является Фурье-образом последовательности импульсов , а  - частотой дискретизации. Отметим, что Фурье-образ последовательности импульсов - это другая последовательность импульсов; периоды обеих последовательностей обратны друг другу. Последовательность импульсов  и ее Фурье-образ  показаны на рис. 2.6, в, г.

Свертка с импульсной функцией смещает исходную функцию.

                                                                                           (2.7)

Запишем теперь Фурье-образ дискретного сигнала.

                      (2.8)

Итак, приходим к заключению, что в пределах исходной полосы спектр  дискретного сигнала  равен, с точностью до постоянного множителя , спектру исходного сигнала . Кроме того, спектр периодически повторяется по частоте с интервалом  Гц. Фильтрующее свойство импульсной функции позволяет легко получить свертку в частотной области последовательности импульсов с другой функцией. Импульсы действуют как стробирующие функции. Значит, свертку можно выполнить графически, накрывая последовательность импульсов , показанную на рис. 2.6, г, образом , представленным на рис. 2.6, б. Этот процесс повторяет функцию  в каждом интервале частот последовательности импульсов, что в конечном итоге дает функцию , показанную на рис. 2.6, е.

После выбора частоты дискретизации (в предыдущем примере ) каждая спектральная копия отделяется от соседних полосой частот, равной , Гц, и аналоговый сигнал полностью восстанавливается из выборок путем фильтрации. В то же время для выполнения этого потребовался бы идеальный фильтр с абсолютно крутыми фронтами. Очевидно, что если  копии отдалятся (в частотной области), как показано на рис. 2.7, а, и это облегчит операцию фильтрации. На рисунке также показана типичная характеристика фильтра нижних частот, который может использоваться для выделения спектра немодулированного сигнала. При уменьшении частоты дискретизации до  копии начнут перекрываться, как показано на рис. 2.7, б, и информация частично будет потеряна. Явление, являющееся результатом недостаточной частоты выборки (выборки, производимой очень редко), называется наложением (aliasing). Частота Найквиста  - это предел, ниже которого происходит наложение; чтобы избежать этого нежелательного явления, следует удовлетворять критерий Найквиста .

Рис.2.7. Спектры для различных частот дискретизации: а) дискретный спектр  ; б) дискретный спектр

С практической точки зрения ни сигналы, представляющие технический интерес, ни реализуемые узкополосные фильтры не имеют строго ограниченной полосы. Сигналы с идеально ограниченной полосой не существуют в природе (см. раздел 1.7.2); следовательно, реализуемые сигналы, даже если мы можем считать, что они имеют ограниченную полосу, в действительности всегда включают некоторое наложение. Эти сигналы и фильтры могут, впрочем, рассматриваться как ограниченные. Под последним мы подразумеваем, что можно определить полосу, вне которой спектральные компоненты затухают настолько, что ими можно пренебречь.



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.