2.4.1.2. Естественная дискретизация

В данном разделе справедливость теоремы о дискретном представлении демонстрируется с помощью свойства преобразования Фурье, заключающегося в сдвиге частоты. Хотя мгновенная выборка и является удобной моделью, все же более практичный способ дискретизации аналогового сигнала  с ограниченной полосой частот (рис. 2.8, а, б) состоит в его умножении на серию импульсов или коммутирующий сигнал  (рис. 2.8, в). Каждый импульс серии  имеет ширину  и амплитуду . Умножение на  можно рассматривать как включение и выключение коммутатора. Как и ранее, частота дискретизации обозначается через , а величина, обратная к ней (время между выборками), - через . Получаемая последовательность дискретных данных, , показана на рис. 2.8, д; она выражается следующей формулой.

                                                                                           (2.9)

Рис.2.8. Теорема о дискретном представлении и сдвиг частоты Фурье-образа

В данном случае мы имеем дело с так называемой естественной дискретизацией (natural sampling), поскольку вершина каждого импульса  в течение интервала его передачи имеет форму соответствующего аналогового сегмента. С помощью уравнения (А. 13) периодическую серию импульсов можно выразить как ряд Фурье:

,                                                                                      (2.10)

где частота дискретизации, , выбрана равной , так что выполнено минимальное необходимое условие критерия Найквиста. Из уравнения (А.24) , где  - ширина импульса, - его амплитуда, а

.

Огибающая спектра амплитуд серии импульсов, показанная на рис. 2.8, г пунктиром, имеет вид функции . Объединяя выражения (2.9) и (2.10), получаем следующее.

                                                                       (2.11)

Образ  дискретного сигнала находится следующим образом.

                                                                          (2.12)

Для линейных систем операции суммирования и преобразования Фурье можно менять местами. Следовательно, можно записать следующее.

                                                                                     (2.13)

Используя свойство трансляции частоты преобразования Фурье (см. раздел А.3.2), получаем следующее выражение для .

                                                                              (2.14)

Подобно дискретизации с использованием единичных импульсов формула (2.14) и рис. 2.8, е показывают, что  - это копия , периодически повторяющаяся по частоте с интервалом , Гц. Впрочем, при естественной дискретизации видим, что  взвешена на коэффициенты ряда Фурье серии импульсов, тогда как при дискретизации единичными импульсами имеем импульсы постоянной формы. Отметим, что в пределе, при стремящейся к нулю ширине импульса ,  стремится к  для всех  (см. пример ниже) и уравнение (2.14) переходит в уравнение (2.8).

Пример 2.1. Сравнение дискретизации единичными импульсами и естественной дискретизации

Рассмотрим данный сигнал  и его Фурье-образ . Пусть  - спектр сигнала , являющегося результатом дискретизации  с помощью серии единичных импульсов , a  - спектр сигнала , являющегося результатом дискретизации  с помощью серии импульсов , имеющих ширину , амплитуду  и период . Покажите, что в пределе  .

Решение

Из уравнения (2.8)

и из уравнения (2.14)

При  амплитуда импульса стремится к бесконечности (площадь импульса постоянна) и . С помощью уравнения (А. 14) коэффициенты  можно записать как следующий предел.

Следовательно, в пределах интегрирования (от  до ) единственный ненулевой вклад в интеграл дает значение ; в данном случае можно записать следующее.

Получаем, что в пределе для всех  .