Лекции по Теоретическим основам цифровой связи |
2. Форматирование и узкополосная модуляции |
2.4.1.2. Естественная дискретизация
В данном разделе
справедливость теоремы о дискретном представлении демонстрируется с помощью
свойства преобразования Фурье, заключающегося в сдвиге частоты. Хотя мгновенная
выборка и является удобной моделью, все же более практичный способ
дискретизации аналогового сигнала с ограниченной полосой частот (рис. 2.8, а, б) состоит в его умножении на серию импульсов или коммутирующий сигнал
(рис. 2.8, в).
Каждый импульс серии
имеет
ширину
и
амплитуду
.
Умножение на
можно
рассматривать как включение и выключение коммутатора. Как и ранее, частота
дискретизации обозначается через
, а величина, обратная к ней (время между
выборками), - через
.
Получаемая последовательность дискретных данных,
, показана на рис. 2.8, д; она
выражается следующей формулой.
(2.9)
Рис.2.8. Теорема о дискретном представлении и сдвиг частоты Фурье-образа
В данном случае мы имеем
дело с так называемой естественной дискретизацией (natural sampling), поскольку
вершина каждого импульса в течение интервала его передачи имеет
форму соответствующего аналогового сегмента. С помощью уравнения (А. 13)
периодическую серию импульсов можно выразить как ряд Фурье:
, (2.10)
где частота дискретизации, , выбрана равной
, так что выполнено
минимальное необходимое условие критерия Найквиста. Из уравнения (А.24)
, где
- ширина импульса,
- его амплитуда, а
.
Огибающая спектра амплитуд серии
импульсов, показанная на рис. 2.8, г пунктиром, имеет вид функции . Объединяя выражения
(2.9) и (2.10), получаем следующее.
(2.11)
Образ дискретного сигнала находится следующим
образом.
(2.12)
Для линейных систем операции суммирования и преобразования Фурье можно менять местами. Следовательно, можно записать следующее.
(2.13)
Используя свойство трансляции частоты преобразования Фурье
(см. раздел А.3.2), получаем следующее выражение для .
(2.14)
Подобно дискретизации с
использованием единичных импульсов формула (2.14) и рис. 2.8, е показывают, что -
это копия
,
периодически повторяющаяся по частоте с интервалом
, Гц. Впрочем, при естественной
дискретизации видим, что
взвешена на коэффициенты ряда Фурье серии
импульсов, тогда как при дискретизации единичными импульсами имеем импульсы
постоянной формы. Отметим, что в пределе, при стремящейся к нулю ширине
импульса
,
стремится к
для всех
(см. пример ниже) и
уравнение (2.14) переходит в уравнение (2.8).
Пример 2.1. Сравнение дискретизации единичными импульсами и естественной дискретизации
Рассмотрим данный сигнал и его Фурье-образ
. Пусть
- спектр сигнала
, являющегося
результатом дискретизации
с помощью серии единичных импульсов
, a
- спектр сигнала
, являющегося
результатом дискретизации
с помощью серии импульсов
, имеющих ширину
, амплитуду
и период
. Покажите, что в
пределе
.
Решение
Из уравнения (2.8)
и из уравнения (2.14)
При амплитуда импульса стремится к
бесконечности (площадь импульса постоянна) и
. С помощью уравнения (А. 14) коэффициенты
можно
записать как следующий предел.
Следовательно, в пределах
интегрирования (от до
) единственный ненулевой вклад в
интеграл дает значение
; в данном случае можно записать
следующее.
Получаем, что в пределе
для всех
.