Лекции по Теоретическим основам цифровой связи   

3. Узкополосная демодуляция/обнаружение

3.1.3.2. Обобщенное преобразование Фурье

Преобразование, описанное формулами (3.8), (3.10) и (3.11), называется обобщенным преобразованием Фурье. При обычном преобразовании Фурье множество включает синусоиды и косинусоиды, а в случае обобщенного преобразования оно не ограничено какой-либо конкретной формой; это множество должно лишь удовлетворять условию ортогональности, записанному в форме уравнения (3.8). Обобщенное преобразование Фурье позволяет представить любой произвольный интегрируемый набор сигналов (или шумов) в виде линейной комбинации ортогональных сигналов [3]. Следовательно, в подобном ортогональном пространстве в качестве критерия принятия решения для обнаружения любого набора сигналов при шуме AWGN вполне оправдано использование расстояния (Евклидового расстояния). Вообще, важнейшее применение этого ортогонального преобразования связано с действительной передачей и приемом сигналов. Передача неортогонального набора сигналов в общем случае осуществляется посредством подходящего взвешивания ортогональных компонентов несущих.

Пример 3.1. Ортогональное представление сигналов

На рис. 3.5 иллюстрируется утверждение, что любой произвольный интегрируемый набор сигналов может представляться как линейная комбинация ортогональных сигналов. На рис. 3.5, а показан набор из трех сигналов, , и .

а) Покажите, что данные сигналы не взаимно ортогональны.

б) На рис. 3.5, б показаны два сигнала и . Докажите, что эти сигналы ортогональны.

в) Покажите, как неортогональные сигналы из п. а можно выразить как линейную комбинацию ортогональных сигналов из п. б.

г) На рис. 3.5, в показаны другие два сигнала и . Покажите, как неортогональные сигналы, показанные на рис. 3.5, а, выражаются через линейную комбинацию сигналов, изображенных на рис. 3.5, в.

Рис. 3.5. Пример выражения произвольного набора сигналов через ортогональный набор: а) произвольный набор сигналов;

б) набор ортогональных базисных функций;

в) другой набор ортогональных базисных функций

Решение

а) Сигналы , и , очевидно, не являются взаимно ортогональными, поскольку не удовлетворяют требованиям, указанным в формуле (3.8), т.е. интегрирование по времени (по периоду передачи символа) скалярного произведения любых двух из трех сигналов не равно нулю. Покажем это для сигналов и .

Подобным образом интегрирование по интервалу времени Т каждого из скалярных произведений и дает ненулевой результат. Следовательно, множество сигналов на рис. 3.5, а не является ортогональным

б) Используя формулу (3.8), докажем, что и ортогональны.

в) С использованием формулы (3.11) при , неортогональное множество сигналов можно выразить через линейную комбинацию ортогональных базисных сигналов .

г) Подобно тому, как было сделано в п. в, неортогональное множество можно выразить через ортогональный набор базисных функций , изображенный на рис. 3.5, в.

Эти соотношения показывают, как произвольный набор сигналов выражается через линейную комбинацию сигналов ортогонального набора , что описывается формулами (3.10) и (3.11). Какое практическое значение имеет возможность представления сигналов и через сигналы , и соответствующие коэффициенты? Если мы хотим, чтобы система передавала сигналы , и , достаточно, чтобы передатчик и приемник реализовывались только с использованием двух базисных функций и , а не трех исходных сигналов. Получить ортогональный набор базисных функций из любого данного набора сигналов позволяет процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. (Подробно этот процесс описан в приложении 4А работы [4].) .



*****

© 2009-2017 Банк лекций siblec.ru
Лекции для преподавателей и студентов. Формальные, технические, естественные, общественные, гуманитарные, и другие науки.